線性代數中特征值和特征向量有啥用？

如果你把A*x=lambda*x中的A看做一種變換，一種作用，那么那些在這種作用下，只改變長短不改變方向的那些向量x就是特征向量，而特征值就是lambda，是伸縮系數，起能量增幅或者削減作用。 特征值特征向量在各學術領域均有很高級的作用，首先介紹PCA，主成分分析。如果你面前有大維數組，處理起來非常棘手，直接帶入問題處理速度又慢，第一想法就是能不能從中取出最有用，最有代表性的內容，俗話說：撈干的?；叵雝r跡這個性質，trA=A所有特征向量的和，主對角線元的意義非凡，暫且認為主對角線和就是這個矩陣所蘊含的能量。而特征向量就是這些能量集中爆發的方向，如果你很清楚特征分解的幾何意義，就知道特征向量就是數據在空間中的對稱軸，特征分解就是把其他方面的能量都投影在對稱軸上，所以特征分解完或者說投影完，中間就只剩一個對角陣了，非對角元全是0. 此時你把最大的那幾個特征向量摘出來，其余的拋掉，如此能很大程度降低你數據的維度，但信息損失仍在可控的范圍。假設你求出100個特征值，頭五個最大的和能達到這100個和的95%，那么其余95個丟掉，相對應的特征向量也丟掉。此時你的100*100的方陣只剩下5*5了，但信息量保存了95%。 金融業，銀行業，保險業大量使用。 互聯網，Google的PageRank，就是 對www鏈接關系的修正鄰接矩陣的，主要特征向量的投影分量，給出了頁面平分。也就是搜索排名，憑什么我靠前你靠后。 人像識別，我們把圖像A看成矩陣，進一步看成線性變換矩陣，把這個訓練圖像的特征矩陣求出來(假設取了n個能量最大的特征向量)。用A乘以這個n個特征向量，得到一個n維矢量a，也就是A在特征空間的投影。 還有聚類分析，信號處理等等。所以這塊你一定要學透。