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布萊克-斯科爾斯模型（Black-Scholes Model），簡稱BS模型，是一種為期權或權證等金融衍生工具定價的數學模型，由美國經濟學家邁倫·斯科爾斯與費雪·布萊克所最先提出，并由羅伯特·墨頓完善。該模型就是以邁倫·斯科爾斯和費雪·布萊克命名的。1997年邁倫·斯科爾斯和羅伯特·墨頓憑借該模型獲得諾貝爾經濟學獎。然而統計學上的肥尾現象影響此公式的有效性。

B-S模型5個重要假設

1、金融資產價格服從對數正態分布，而金融資產收益率服從正態分布；

2、在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變量是恒定的；

3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4、金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得（該假設后被放棄）；

5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。

模型

其中:

C—期權初始合理價格

L—期權交割價格

S—所交易金融資產現價

T—期權有效期

r—連續復利計無風險利率H

σ2—年度化方差

N()—正態分布變量的累積概率分布函數，

外部鏈接

The Black–Scholes Model, global-derivatives.comOptions pricing using the Black-Scholes Model, Investment Analysts Society of Southern AfricaBlack, Merton, and Scholes: Their work and its consequences, by Ajay ShahA Study of Option Pricing Models, Prof. Kevin RubashBlack-Scholes in English, risklatte.comThe Black–Scholes Option Pricing Model, optiontutorEmployee Stock Option Valuation, esomanager.com來自“http://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=布萊克-斯科爾斯模型&oldid=17189494”

Black-Scholes期權定價模型

概述 Black-Scholes期權定價模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布萊克-斯克爾斯期權定價模型 1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經濟學獎授予了兩位美國學者，哈佛商學院教授羅伯特·默頓(RoBert Merton)和斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)。他們創立和發展的布萊克——斯克爾斯期權定價模型(Black Scholes Option Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。 斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權定價的復雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。結果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發表。所以，布萊克—斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用于許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學協會(The Royal Swedish Academyof Sciencese)贊譽他們在期權定價方面的研究成果是今后25年經濟科學中的最杰出貢獻。B-S期權定價模型及其假設條件(一)B-S模型設置了以下重要的假設： 1、股票價格服從對數正態分布； 2、在期權有效期內，無風險利率和股票資產期望收益變量和價格波動率是恒定的； 3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本； 4、股票資產在期權有效期內不支付紅利及其它所得(該假設可以被放棄)； 5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施； 6、金融市場不存在無風險套利機會； 7、金融資產的交易可以是連續進行的； 8、可以運用全部的金融資產所得進行賣空操作。(二)榮獲諾貝爾經濟學獎的B-S定價公式 C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2) 其中: D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ·T D2=D1-σ·T C—期權初始合理價格 L—期權交割價格 S—所交易金融資產現價 T—期權有效期 r—連續復利計無風險利率H σ2—年度化方差 N()—正態分布變量的累積概率分布函數，在此應當說明兩點： 第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年復利一次，而r要求利率連續復利。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。 第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。B-S定價模型的推導與運用(一)B-S模型的推導 B-S模型的推導是由看漲期權入手的，對于一項看漲期權，其到期的期值是: E[G]=E[max(ST-L，O)] 其中，E[G]—看漲期權到期期望值 ST—到期所交易金融資產的市場價值 L—期權交割(實施)價 到期有兩種可能情況: 1、如果ST>L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L 2、如果ST<L，則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有: max(ST-L，O)=0 從而: E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L) 其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續復利rT貼現，得期權初始合理價格: C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權定價轉化為確定P和E[ST|ST>L]。 首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(ST)與現價(S)比值的對數值，即收益=1NSTS。由假設1收益服從對數正態分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT 其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態分布有性質:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態分布隨機變量χ—關鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處于正態分布的L到∞范圍，所以， E[ST|ST]>=S·EγT·N(D1)N(D2) 其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT 最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S·N(D1)-L·E-γT·N(D2)(二)B-S模型應用實例 假設市場上某股票現價S為 164，無風險連續復利利率γ是0.0521，市場方差σ2為0.0841，那么實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下: ①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328 ②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570 ③查標準正態分布函數表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761 ④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803 因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那么這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。(三)看跌期權定價公式的推導 B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出—購進平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出—購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示為: S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T 移項得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，將B-S模型代入整理得:P=L·E-γT·[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即為看跌期權初始價格定價模型。B-S模型的發展、股票分紅 B-S模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，默頓發展了B-S模型，使其亦運用于支付紅利的股票期權。 (一)存在已知的不連續紅利假設某股票在期權有效期內某時間T(即除息日)支付已知紅利DT，只需將該紅利現值從股票現價S中除去，將調整后的股票價值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT·E-rT。如果在有效期內存在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式: C=(S-·E-γT·N(D1)-L·E-γT·N(D2) (二)存在連續紅利支付是指某股票以一已知分紅率(設為δ)支付不間斷連續紅利，假如某公司股票年分紅率δ為0.04，該股票現值為164，從而該年可望得紅利164×004= 6.56。值得注意的是，該紅利并非分4季支付每季164；事實上，它是隨美元的極小單位連續不斷的再投資而自然增長的，一年累積成為6.56。因為股價在全年是不斷波動的，實際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型并不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價格的支付比例固定。 在此紅利現值為:S(1-E-δT)，所以S′=S·E-δT，以S′代S，得存在連續紅利支付的期權定價公式:C=S·E-δT·N(D1)-L·E-γT·N(D2)B-S模型的影響 自B-S模型1973年首次在政治經濟雜志(Journalofpo Litical Economy)發表之后， 芝加哥期權交易所的交易商們馬上意識到它的重要性，很快將B-S模型程序化輸入計算機應用于剛剛營業的芝加哥期權交易所。該公式的應用隨著計算機、通訊技術的進步而擴展。到今天，該模型以及它的一些變形已被期權交易商、投資銀行、金融管理者、保險人等廣泛使用。衍生工具的擴展使國際金融市場更富有效率，但也促使全球市場更加易變。新的技術和新的金融工具的創造加強了市場與市場參與者的相互依賴，不僅限于一國之內還涉及他國甚至多國。結果是一個市場或一個國家的波動或金融危機極有可能迅速的傳導到其它國家乃至整個世界經濟之中。我國金融體制不健全、資本市場不完善，但是隨著改革的深入和向國際化靠攏，資本市場將不斷發展，匯兌制度日漸完善，企業也將擁有更多的自主權從而面臨更大的風險。因此，對規避風險的金融衍生市場的培育是必需的，對衍生市場進行探索也是必要的，我們才剛剛起步。對B-S模型的檢驗、批評與發展 B-S模型問世以來，受到普遍的關注與好評，有的學者還對其準確性開展了深入的檢驗。但同時，不少經濟學家對模型中存在的問題亦發表了不同的看法，并從完善與發展B-S模型的角度出發，對之進行了擴展。 1977年美國學者伽萊(galai)利用芝加哥期權交易所上市的股票權的數據，首次對布-肖模型進行了檢驗。此后，不少學者在這一領域內作了有益的探索。其中比較有影響的代表人物有特里皮(trippi)?奇拉斯(chiras)?曼納斯特(manuster)?麥克貝斯(macbeth)及默維勒(merville)等。綜合起來，這些檢驗得到了如下一些具有普遍性的看法： 1.模型對平值期權的估價令人滿意，特別是對剩余有效期限超過兩月，且不支付紅利者效果尤佳。 2.對于高度增值或減值的期權，模型的估價有較大偏差，會高估減值期權而低估增值期權。 3.對臨近到期日的期權的估價存在較大誤差。 4.離散度過高或過低的情況下，會低估低離散度的買入期權，高估高離散度的買方期權。但總體而言，布-肖模型仍是相當準確的，是具有較強實用價值的定價模型。 對布-肖模型的檢驗著眼于從實際統計數據進行分析，對其表現進行評估。而另外的一些研究則從理論分析入手，提出了布-肖模型存在的問題，這集中體現于對模型假設前提合理性的討論上。不少學者認為，該模型的假設前提過嚴，影響了其可靠性，具體表現在以下幾方面： 首先，對股價分布的假設。布-肖模型的一個核心假設就是股票價格波動滿足幾何維納過程，從而股價的分布是對數正態分布，這意味著股價是連續的。麥頓(merton)?約翰·考克斯(John Carrington Cox)、斯蒂芬·羅斯(Stephen A. Ross)、馬克·魯賓斯坦（Mark Rubinstein）等人指出，股價的變動不僅包括對數正態分布的情況，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一種情況是不全面的。他們用二項分布取代對數正態分布，構建了相應的期權定價模型。 其次，關于連續交易的假設。從理論上講，投資者可以連續地調整期權與股票間的頭寸狀況，得到一個無風險的資產組合。但實踐中這種調整必然受多方面因素的制約：1.投資者往往難以按同一的無風險利率借入或貸出資金；2.股票的可分性受具體情況制約；3.頻繁的調整必然會增加交易成本。因此，現實中常出現非連續交易的情況，此時，投資者的風險偏好必然影響到期權的價格，而布-肖模型并未考慮到這一點。 再次，假定股票價格的離散度不變也與實際情況不符。布萊克本人后來的研究表明，隨著股票價格的上升，其方差一般會下降，而并非獨立于股價水平。有的學者(包括布萊克本人)曾想擴展布-肖模型以解決變動的離散度的問題，但至今未取得滿意的進展。 此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現實不符。而假設期權的基礎股票不派發股息更限制了模型的廣泛運用。不少學者認為，股息派發的時間與數額均會對期權價格產生實質性的影響，不能不加以考察。他們中有的人對模型進行適當調整，使之能反映股息的影響。具體來說，如果是歐洲買方期權，調整的方法是將股票價格減去股息(d)的現值替代原先的股價，而其他輸入變量不變，代入布-肖模型即可。若是美國買方期權，情況稍微復雜。第一步先按上面的辦法調整后得到不提早執行情況下的價格。第二步需估計在除息日前立即執行情況下期權的價格，將調整后的股價替代實際股價，距除息日的時間替代有效期限?股息調整后的執行價格(x-d)替代實際執行價格，連同無風險利率與股價離散度等變量代入模型即可。第三步選取上述兩種情況下期權的較大值作為期權的均衡價格。需指出的是，當支付股息的情況比較復雜時，這種調整難度很大。 Black-Scholes 期權定價模型概述

1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經濟學獎授予了兩位美國學者，哈佛商學院教授羅伯特·默頓(RoBert Merton)和斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)。他們創立和發展的布萊克——斯克爾斯期權定價模型(Black Scholes Option Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權定價的復雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。結果，兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發表。所以，布萊克—斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克—斯克爾斯—默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用于許多其它形式的金融交易。瑞士皇家科學協會(The Royal Swedish Academyof Sciencese)贊譽他們在期權定價方面的研究成果是今后25年經濟科學中的最杰出貢獻。

B-S期權定價模型及其假設條件

一)B-S模型設置了以下重要的假設：

1、股票價格服從對數正態分布；

2、在期權有效期內，無風險利率和股票資產期望收益變量和價格波動率是恒定的；

3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4、股票資產在期權有效期內不支付紅利及其它所得(該假設可以被放棄)；

5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施;

6、金融市場不存在無風險套利機會；

7、金融資產的交易可以是連續進行的；

8、可以運用全部的金融資產所得進行賣空操作。

(二)榮獲諾貝爾經濟學獎的B-S定價公式

C=S?N(D1)-L?E-γT?N(D2)

其中:

D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ?T

D2=D1-σ?T

C—期權初始合理價格

L—期權交割價格

S—所交易金融資產現價

T—期權有效期

r—連續復利計無風險利率H

σ2—年度化方差

N()—正態分布變量的累積概率分布函數，在此應當說明兩點：

第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年復利一次，而r要求利率連續復利。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。

第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100365=0.274。

B-S定價模型的推導與運用

(一)B-S模型的推導B-S模型的推導是由看漲期權入手的，對于一項看漲期權，其到期的期值是:

E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，E[G]—看漲期權到期期望值

ST—到期所交易金融資產的市場價值

L—期權交割(實施)價

到期有兩種可能情況:

1、如果ST>L，則期權實施以進帳(In-the-money)生效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、如果ST＜?XML:NAMESPACE PREFIX = L，則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有 /＞< p>

max(ST-L，O)=0

從而:

E[CT]=P×(E[ST|ST>L)+(1-P)×O=P×(E[ST|ST>L]-L)

其中:P—(ST>L)的概率E[ST|ST>L]—既定(ST>L)下ST的期望值將E[G]按有效期無風險連續復利rT貼現，得期權初始合理價格:

C=P×E-rT×(E[ST|ST>L]-L)(*)這樣期權定價轉化為確定P和E[ST|ST>L]。

首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(ST)與現價(S)比值的對數值，即收益=1NSTS。由假設1收益服從對數正態分布，即1NSTS～N(μT，σT2)，所以E[1N(STS]=μT，STS～EN(μT，σT2)可以證明，相對價格期望值大于EμT，為:E[STS]=EμT+σT22=EμT+σ2T2=EγT從而，μT=T(γ-σ22)，且有σT=σT

其次，求(ST>L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正態分布有性質:Pr06[ζ>χ]=1-N(χ-μσ)其中:ζ—正態分布隨機變量χ—關鍵值μ—ζ的期望值σ—ζ的標準差所以:P=Pr06[ST>1]=Pr06[1NSTS]>1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由對稱性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(γ-σ22)TσTArS第三，求既定ST>L下ST的期望值。因為E[ST|ST]>L]處于正態分布的L到∞范圍，所以，

E[ST|ST]>=S?EγT?N(D1)N(D2)

其中:D1=LNSL+(γ+σ22)TσTD2=LNSL+(γ-σ22)TσT=D1-σT

最后，將P、E[ST|ST]>L]代入(*)式整理得B-S定價模型:C=S?N(D1)-L?E-γT?N(D2)

(二)B-S模型應用實例

假設市場上某股票現價S為 164，無風險連續復利利率γ是0.0521，市場方差σ2為0.0841，那么實施價格L是165，有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下:

①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)×0.09590.29×0.0959=0.0328

②求D2:D2=0.0328-0.29×0.0959=-0.570

③查標準正態分布函數表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

④求C:C=164×0.5120-165×E-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

因此理論上該期權的合理價格是5.803。如果該期權市場實際價格是5.75，那么這意味著該期權有所低估。在沒有交易成本的條件下，購買該看漲期權有利可圖。

(三)看跌期權定價公式的推導

B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出—購進平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出—購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示為:

S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T

移項得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+γ)-T-S，將B-S模型代入整理得:P=L?E-γT?[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即為看跌期權初始價格定價模型。

B-S模型的發展、股票分紅

B-S模型只解決了不分紅股票的期權定價問題，默頓發展了B-S模型，使其亦運用于支付紅利的股票期權。

(一)存在已知的不連續紅利假設某股票在期權有效期內某時間T(即除息日)支付已知紅利DT，只需將該紅利現值從股票現價S中除去，將調整后的股票價值S′代入B-S模型中即可:S′=S-DT?E-rT。如果在有效期內存在其它所得，依該法一一減去。從而將B-S模型變型得新公式:

C=(S-?E-γT?N(D1)-L?E-γT?N(D2)

(二)存在連續紅利支付是指某股票以一已知分紅率(設為δ)支付不間斷連續紅利，假如某公司股票年分紅率δ為0.04，該股票現值為164，從而該年可望得紅利164×004= 6.56。值得注意的是，該紅利并非分4季支付每季164；事實上，它是隨美元的極小單位連續不斷的再投資而自然增長的，一年累積成為6.56。因為股價在全年是不斷波動的，實際紅利也是變化的，但分紅率是固定的。因此，該模型并不要求紅利已知或固定，它只要求紅利按股票價格的支付比例固定。

Black Scholes

通常意義的Black Scholes指的是以下3種概念： ·Black Scholes模型 是描述權益類證券的一個數學模型，假設權益類證券價格是一個動態過程； ·Black Scholes PDE描述基于權益類證券的衍生品價格的偏微分方程； ·Black Scholes公式是把Black Scholes PDE應用到歐式認購和認沽期權的定價結果。 Fischer Black和Myron Scholes在1973年發表著名期權定價論文。 1997年10月10日，斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)獲得了第二十九屆諾貝爾經濟學獎 （一同獲得的是哈佛商學院教授羅伯特·默頓(RoBert Merton)）。Fisher Black 當時已故。 他們創立和發展的布萊克——斯克爾斯期權定價模型(Black Scholes Option Pricing Model)為包括股票、債券、貨幣、商品在內的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎。擴展閱讀： http://www.QuantHR.com

有關Black Scholes model的故事在這兒分享給大家。 Black-Scholes Model的起源當追溯到19世紀20年代。當時，蘇格蘭科學家Robert Brown觀察到水中的懸浮顆粒呈不規則運動。這一現象被命名為布朗運動，想必高中學理科的人都應該很熟悉了。到了20世紀早期，Albert Einstein運用布朗運動的原理解釋分子熱運動，發表了數篇學術論文，從而獲得了諾貝爾獎。這個時候，一種用于研究微粒隨機運動的數學方法已經為科學界所廣泛接受，這種方法后來演變成了數學的一個重要分支——隨機微積分。這些看似與金融無關的學術研究，后來都成為Black-Scholes Model的基礎。 1900年，一個名叫Louis Bachelier的來自法國的博士生在博士畢業論文中建立了一個巴黎市場的期權定價模型，這個模型酷似后來名揚天下的Black-Scholes Model。然而不幸的是，Bachelier的導師對他非常失望，原因是他的研究過于偏向實踐。盡管Bachelier拿到了博士學位，但由于導師不再支持他，他的職業道路默默無聞，而他在博士畢業論文中建立的模型也就被埋沒了。 1960年后期，Fischer Black拿到了Harvard的數學博士。畢業之后的Black選擇進入Boston一家管理咨詢公司工作。在那里，Black遇到了一位年輕的MIT金融教授，Myron Scholes。兩個年輕人很聊得來，經常就金融市場的運作等問題交換意見。不久之后，Black加入MIT，也成為了一名金融教授，并且對除期權之外的資產定價的研究做出了杰出的貢獻。后來，Black和Scholes開始研究期權，盡管在那個時候期權僅限于OTC市場。 Black和Scholes試圖用兩種方法為期權定價，一種是已經為金融界廣泛接受的Capital Asset Pricing Theory，而另一種則需要運用隨機微積分。運用第一種方法，他們得到一個等式。但是，他們的第二種方法卻一度無法取得突破，因為他們遇到了一個他們解不了的微分方程。由于第二種方法一旦成功將對學術界和業界有重大貢獻，他們堅持不懈地去探索這個微分方程的解法。終于，Black將這個微分方程轉化為一個描述熱運動的方程，從而通過查閱物理學典籍而輕易求得了微分方程的解，并且獲得了與第一種方法相匹配的期權定價模型。盡管Black和Scholes的論文被包括Journal of Political Economy在內的兩家學術期刊拒絕，但Journal of Political Economy重新審核之后接受了他們的論文。就這樣，著名的Black-Scholes Model終于公之于世。 有趣的是，另外一名來自MIT的金融教授在同一時期也在研究期權定價。這個叫Robert Merton的年輕人幾乎與Black和Scholes同時推導出了相同的期權定價模型。Merton為人非常謙虛，他要求學術期刊的編輯不要將他的論文早于Black和Scholes的論文刊登出來。最終，Merton的論文在Bell Journal of Economics and Management Science上發表，發表時間與Black和Scholes在Journal of Political Economy上發表的論文一樣。也正是因為這樣，很多教科書都將這個期權定價模型命名為Black-Scholes-Merton Model或BSM。 1983年，Black離開學術界，轉而進入華爾街加盟了Goldman Sachs。不幸的是，他1995年就去世了，年僅57歲。而Scholes和Merton都一直留在學術界，對期權在市場中的應用做出了很多貢獻。1997年，由于BSM以及在期權定價及期權市場方面的杰出研究成果，Scholes和Merton榮獲諾貝爾經濟學獎。然而，Black已經去世，按慣例無法獲得諾貝爾獎，但他的貢獻亦載入史冊。

Black—Scholes期權定價模型可用來計算單個期權的價值，再計算預計給予的期權數，然后確定補償費用金額。該模型須考慮6個因素，即行使價格、股票市價、期權的預計有效期限、股票價格的預計浮動性、預計股票股利和每一時期連續復利計息的無風險利率。 公式很復雜，你自己去看一吧。 http://www.chinaoptions.cn/Admin/Article/UploadWord/200561011745555.pdf