編寫程序進行實現(xiàn)。

一、什么是龍格現(xiàn)象？

龍格現(xiàn)象是指在使用數(shù)值方法求解微分方程時，當網(wǎng)格點間距越小時，數(shù)值解的誤差反而越大的現(xiàn)象。這是由于數(shù)值方法的截斷誤差和舍入誤差在網(wǎng)格點間距越小時變得更加顯著，從而導(dǎo)致數(shù)值解的誤差增大。

實現(xiàn)驗證龍格現(xiàn)象

編寫程序來驗證龍格現(xiàn)象。以下是一個簡單的實現(xiàn)方法

1. 導(dǎo)入必要的庫

umpyatplotlib庫來進行數(shù)值計算和繪圖。

portumpypportatplotlib.pyplot as plt

2. 定義微分方程和解

我們可以選擇一個簡單的微分方程進行求解，例如y'=y，y(0)=1。其解為y=e^x。

def f(x, y) y

def exact(x)p.exp(x)

3. 定義數(shù)值方法

geethod）進行數(shù)值求解。以下是一個經(jīng)典的四階龍格-庫塔法

)p+1)p+1)

x[0] = x0

y[0] = y0ge)

k1 = hf(x[i], y[i])

k2 = hf(x[i]+0.5h, y[i]+0.5k1)

k3 = hf(x[i]+0.5h, y[i]+0.5k2)

k4 = hf(x[i]+h, y[i]+k3)

y[i+1] = y[i] + (k1+2k2+2k3+k4)/6

x[i+1] = x[i] + h x, y

4. 計算數(shù)值解和誤差

我們可以使用不同的網(wǎng)格點間距進行計算，并計算相應(yīng)的數(shù)值解和誤差。

x0 = 0

y0 = 1 = 10)p.abs(y - exact(x))

5. 繪制誤差隨網(wǎng)格點間距變化的圖像

我們可以繪制誤差隨網(wǎng)格點間距變化的圖像，從而驗證龍格現(xiàn)象。

pge+1), e, 'o-', label='error')pgepge+1)4, label='h^4')

plt.xlabel('h')

plt.ylabel('error')d()

plt.show()

實現(xiàn)龍格現(xiàn)象的驗證，我們可以看到隨著網(wǎng)格點間距的減小，誤差反而增大。這告訴我們，在使用數(shù)值方法求解微分方程時，需要選擇適當?shù)木W(wǎng)格點間距，以保證數(shù)值解的精度。