不確定性原理

在量子力學里，不確定性指的是，粒子的位置與動量不可同時被確定，位置的不確定性ΔX與動量的不確定性ΔP遵守不等式：

ΔXΔP≥?/2，其中?是約化普朗克常數?=h/(2π)。

海森堡于1927年給出這原理的論述，因此又稱為“海森堡不確定性原理”。根據海森堡的表述，測量這動作不可避免的攪擾了被測量粒子的運動狀態，因此產生不確定性。后來肯納德稱，位置的不確定性與動量的不確定性是粒子的秉性，它們共同遵守某極限關系式，與測量動作無關。

從單縫衍射理解不確定性原理

粒子的波粒二象性的概念可以用來解釋位置不確定性和動量不確定性的關系。自由粒子的波函數為平面波。假設，平面波入射于刻有一條狹縫的不透明擋板，平面波會從狹縫衍射出去，在觀測屏上顯示出干涉條紋。根據單狹縫衍射公式，從中央極大值位置到第一個零點的夾角θ為：

sinθ=λ/ω，其中，λ是平面波的波長，ω是狹縫寬度。

給定平面波的波長，狹縫越窄，衍射現象越寬闊，θ越大；狹縫越寬，衍射現象越窄，θ越小。

當粒子穿過狹縫之前，在y方向（垂直于粒子前進方向）的動量Py為0，

穿過狹縫時，粒子的Py遭遇攪擾。新的Py可以由粒子抵達觀測屏的位置計算出來。

Py的不確定ΔPy大約是：

ΔPy≈Psinθ=Pλ/ω

當粒子穿過狹縫時，粒子的位置不確定性Δy大約是狹縫寬度：Δy≈ω

所以，位置不確定性與動量不確定性的乘積大約為：

ΔyΔPy≈Pλ/ω*ω=λP

根據德布羅意假說：

λ=h/P

所以，位置不確定性與動量不確定性遵守近似式：

ΔyΔPy≈h

波函數簡略推導不確定性原理

在量子力學中，波函數描述粒子的量子行為。在任意位置，波函數絕對值的平方是粒子處于該位置的概率，動量則與波函數的波數有關。

粒子的位置可以用波函數ψ(x,t)描述，假設波函數ψ(x)是單色平面波，以方程表示為：ψ(x)=e^ikx=e^ixp/?

其中，k是波數，p是動量。

在位置a與b之間找到粒子的概率P為：

假設位置空間的波函數是所有可能的正弦波的積分疊加：

其中，Φ(p)表示振幅，是動量空間的波函數：

從數學上看，ψ(x)與Φ(p)是一對傅里葉變換。標準差σ可以定量地描述位置與動量的不確定性。位置的概率密度函數|ψ(x)|^2可以用來計算其標準差。因為傅里葉變換對的性質為頻域函數與空域函數不能同時收縮或擴展，因此必然有誤差寬度。

數學上可以證明傅里葉變換的空域寬度Δx和頻域寬度Δy的乘積有一個下限：

ΔxΔy≥1/(4π)

因此最后可以得到：

ΔXΔP≥h/(4π)=?/2

這就是不確定性原理，屬于粒子的一種內稟屬性，蘊含了深刻的意義。