數學家為什么對它們感興趣？

孤僻的旅者--素數

多少學生面對數學時那是“數學虐我千百遍,我待數學如初戀”,有的學生甚至看到數字就頭暈眼花。然而有一種數，一直是數學家們研究的香餑餑，多少數學家為了它是夜不能寐，“孤”枕難眠啊，是“數學中的女皇”，既簡單得小學生都懂，又難倒無數天才，它就是---素數。

“素數又稱質數，一個大于1的自然數，除了1和它自身外不能被其他自然數整除的數叫做質數，否則稱為合數”。比如說3、5、7就是素數，因為他們滿足自然數（自然數集是全體非負整數組成的集合，常用 N 來表示。它有無窮無盡的個數）并且大于1且除其他數的時候結果不可能為整數。

一．素數的性質

質數（素數）有很多性質我們先簡單列舉其中幾條：

1. 素數的約數只有1和它自己，再也找不出第三個；

2. 在自然數中每一個大于1 的數，要么本身是質數，要么就可以分解為幾個質數之積，

并且這種分解是唯一的；

3. 素數有無窮多個；

二．素數的應用

為什么科學家們這么熱衷于尋找素數？一方面，是對于自身理想的追求，孜孜不倦地在數學的高峰上攀登。但另一方面，素數在實際場景當中卻體現很大的價值。

1.計算機信息技術中保護通信秘密的“公鑰密碼”

我們知道，要求兩個質數的乘積并不難，但要是給你兩個質數的乘積，要你分解成兩個質數，在數字稍微大一點的時候，難度就不可思議了。而質數的這一性質使其在密碼學中熠熠生輝。

利用該特點進行加密的算法叫做RSA加密算法，于1977年由羅納德·李維斯特、阿迪·薩莫爾和倫納德·阿德曼一起提出。當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。RSA加密算法是一種非對稱加密算法，它在公開密鑰加密和電子商業中RSA被廣泛使用。其加密和解密過程如下：一般這樣設置的，先是收信人和寫信人商定密鑰；再次寫信人將需傳遞的信息在編碼時加入素數，傳送給收信人；最后寫信人按照密鑰解密。

奧秘在于解密的過程其實是一個尋找素數的過程，但是因為素數本身的復雜特性，使得找素數的過程即（分解質因數）時花費大量時間，從而錯過解讀信息的最佳時間

可以說素數研究是純粹數學的精華，也是支撐現代網絡經濟的基礎。我們在網購時，會發送信用卡賬號等個人信息。為了防止在此過程中個人信息被盜，必須對這些信息進行加密處理。加密處理正是運用了費馬和歐拉等數學家所發現的素數的性質.

2.在工業產品設計的應用

在汽車齒輪的設計上相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成質數，也可增強耐用度，從而降低故障發生率。更神奇的是因為素數具有無規律變化的特點，所以以素數形式變化的導彈及魚雷，不易被敵人攔截。

3. 生物領域

北美的周期蟬（Magicicada）有著奇特的生命周期。它們要經過一段漫長的時間，每13或17年，才會成群地破土而出。

自17世紀中葉起，科學家就一直對周期蟬的生命周期困惑不已。它們遵循著相同的基本生命周期：幼蟲在地底生活13或17年，然后在夏季大量出現。它們爬上樹，蛻皮，成長為成蟲，然后在短短數周內，成蟲相遇、交配、產卵。孵化后，幼蟲會回到地底，等待下一個輪回。

為什么是13或者17年，而不是其他數字，而恰好這個數字是素數？當這些周期蟬大量出土繁殖時，周期蟬的天敵大吃特吃，天敵有更多的營養進行繁殖，天敵數量將會大大增加。假設天敵是6年才能性成熟，它的后代又要6年之后才會性成熟繁殖，因為沒有周期蟬吃，它們的數量一直是回落的。再假設周期蟬的周期是18年，那么天敵們將在第18年繼續大吃特吃，在這個18年周期內產生了更多的天敵，這樣每過18年，天敵的總數不斷上漲，周期蟬的數量就越來越少了。同理，周期是16年的周期蟬，很可能會被周期為2、4、8年的天敵吃到絕種。

而13年蟬和17年蟬剛好避過了這些可能性，因為13和17是素數，除非天敵每年繁殖，或者剛好13或17年繁殖，否則不可能成為幫助天敵進行繁殖。因為13年蟬和17年蟬選擇了素數的生命周期，大幅度降低了幫助天敵繁殖的機會，使得自己能夠生存到今天。

數學之美，無處不在。就以素數這個特性而言，一方面，人類在計算機的加密算法上，運用到了素數分布的特性；另一方面，大自然按照既定的規律自然運行，卻也產生素數周期的特性，素數周期的生物產生了最大的適應性，實在令人驚嘆。這讓人聯想到，諸如蘊含費波那契數列的松果，具有分形結構的山川河流，與其說這是自然界的神工鬼斧，倒不如說，這是數學規律幕后主使的結果。

三.素數的猜想

1. 哥德巴赫猜想

它可是世界近代三大數學難題的其中之一。1742年6月7日哥德巴赫寫信給歐拉提出：“隨便取某一個奇數可以把它寫成三個素數之和”，今日常見陳述為歐拉的版本，即

任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和。比如77可寫成三個素數之和，即77=53+17+7；再比如461，可寫成461=449+7+5，也為三個素數之和461=257+199+5，仍然是三個素數之和。

2. 孿生素數猜想

它可是數論中的著名未解決問題，可以被描述為“存在無窮多個素數p，并且對每個p而言有p+2這個數也是素數”，那么是否存在無窮多的孿生素數？

3.梅森素數

還在研究當中。最早迷上質數的人，有文字資料可查的最早迷上質數的人是歐幾里得，他是公元前300多年的人，如果生在中國，大約跟秦王嬴政爺爺的歲數是差不多的，他當時用了一種反證法，證明了質數有無窮多個。

神父兼數學家，叫梅森，他也構造出另外一個公式，這個公式可以說就是2的 p 次方再減1，如果這個p 是質數的話，這個公式算出來的數也是質數，常記為梅森數Mp。如果梅森數是素數，就稱為梅森素數。梅森數越大，也就越難出現。目前僅發現51個梅森素數，最大的是M82589933（即2的82589933次方減1），有24862048位數。如果用普通字號將它打印下來，其長度將超過100公里。

4. 黎曼猜想

被認為是數學史上最偉大的猜想，可用來描述質數的分布。它源自黎曼發表的《論小于給定數值的素數的個數》。正如劍橋大學著名數學家戈弗雷·哈羅德·哈代所說的那樣，這些數字之所以是質數，“并不是因為我們認為它們是質數，也不是因為人類特定的思維方式使然，而是因為它們本身就是質數，因為數學現實就是這么構建的”。

奇妙的素數啊，讓世界上的數學家們百思不得其解，又癡迷于其中不可自拔。素數有如此眾多知識內涵，如此高貴而神秘，不得不感嘆，怪不得數學家們對素數這么感興趣。

最后，以匈牙利數學家保羅·埃爾德什的一句名言作為結束： “至少還要再過100萬年，我們才可能理解 素數。”