的某一行列的元素與另一行列對應元素的代數余子式乘積之和等于零？

【分析】書上的證明是沒錯的。書上是用了行列式的以下兩個性質

①存在完全相同的兩行（列）的行列式值為零；

②行列式中某元素aij的余子式的值，與該元素aij的數值無關。（這點是理解此題的關鍵）

設原行列式 An =

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

a31 a32 …… a3n

…………………………

ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）

…………………………

aj1 aj2 …… ajn ← — — — —（第 j 行）

…………………………

an1 an2 …… ann

于是，書上構造了一個新的行列式 Bn。Bn是將原行列式An的第 j 行元素用第 i 行元素替換得來的。（An與Bn是兩個數值完全不相等的行列式，要搞清楚！）

即，Bn =

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

a31 a32 …… a3n

…………………………

ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 i 行）

…………………………

ai1 ai2 …… ain ← — — — —（第 j 行）

…………………………

an1 an2 …… ann

由于An與Bn除了第 j 行元素外，其余所有數字都對應相等，

所以便有，An 與 Bn分別按第 j 行元素展開的余子式對應相等，即Bjk=Ajk （k=1，2，……，n）

（**注：理解好這一步是理解全題的關鍵）

所以Bn按第 j 行展開，得

Bn=ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn

而∵Bn存在兩行完全相同的元素，

∴Bn = 0

即，ai1Aj1+ai2Aj2+……+ainAjn =0 （證畢）

*********以上是我個人的理解，有不明白的地方可以留言給我，我繼續補充^0^ ************