傅里葉變換是實變函數的哦？

數學上也并不是巧合。

首先明確一點，對于實值信號和有對稱性的純虛復信號來說，其傅里葉變換是存在對稱性的，沒有對稱性的純虛信號或非純虛復信號來說不存在對稱性。

這個對稱性其實就是實值信號傅里葉變換的一個重要性質：共軛對稱。

推導的話大致如下：

因為任意一個函數都可以表示成一個奇函數和一個偶函數的和。

而很容易通過將 ? 這個形式帶入到傅里葉變換的公式中可以證明：奇函數的FT是奇函數，偶函數的FT是偶函數。

引入虛函數和實函數的概念的話，也很容易證明：實偶函數的FT是實偶函數，實奇函數的FT是虛奇函數；虛偶函數的FT是虛偶函數，虛奇函數的FT是實奇函數。

進一步的，自然就可以想到，即便函數本身不具備對稱性，實函數可以拆解為實偶函數+實奇函數，它的的FT是實偶函數+虛奇函數。我們知道傅里葉變換的結果是不能在一張圖里面畫出來的，所以在實部和虛部兩張圖上，都可以看到對稱性。即實函數的傅里葉變換，其實部為頻率的偶函數，虛部為頻率的奇函數。

用以上的方法也可以證明，虛偶函數的頻譜為虛偶函數，虛奇函數的頻譜為實奇函數，結合以上實值信號的頻譜對稱性可知，通常意義上的復信號不具備對稱性。

ps: 如果將實值函數的FT表示為模和相位形式，結合函數的嵌套也很容易證明，模是偶函數，而相位是奇函數。