合作的復雜性中地形理論的算法實現是怎樣的？

如書中第四章所述，地形理論對國家關系建立量化模型，以預測國家之間的聯盟格局。

模型定義了一個格局的能量值（書中等式(1)）：

其中，s是各國規模，p是指國家i和j之間的傾向程度，均為假設給定或由資料計算得到。算法要求調整格局X，使得能量值E(X)達到（局部）最小值。

書中將世界格局限制在兩個聯盟的假設下，即所有國家被劃分成兩個聯盟。如果國家i和國家j在同一聯盟中，d(i, j) = 0，否則d(i, j) = 1，且d(i, j) = d(j, i)。

在n個國家的模型中，設布爾向量 x = (x1, x2, …, xn)表示在同一聯盟的國家集合，即如果所有在某一聯盟中的國家對應的維度設為1，其他維度設為0，則 y = (1-x1, 1-x2, …, 1-xn) 可表示另一個聯盟。因此一個n維布爾向量可表示一個格局。

由于在同一聯盟中的國家i和j之間的 d(i, j) = 0，因此計算能量值時，只需要計算在不同聯盟中的國家的交叉項即可。

構造矩陣M，使得m(i, j) = s(i)s(j)p(i, j)/2，m(i, i) = 0，記向量 v = [1, 1, …, 1]，則 E(X) = vMv’ - xMx’ - (v-x)M(v-x)’，是一個關于格局向量x的函數。

如果x可取連續值，對E(X)求梯度即可，梯度為0的點就是能量值的極值點，也就是書中圖4.1所示。

但Axelrod把x限定在離散值上，所以他是遍歷所有可能枚舉得到結論的。一個布爾向量x對應一個E(X)的極小值點，當且僅當改變x的任何一維，E(X)都會變大。所以在“預測第二次世界大戰中歐洲的聯盟”的分析中，他“計算出65536中可能的格局中每一種的能量值”（中文版P86），并得到了一個全局最小值和兩個局部極小值。