外代數那些內容看不懂？

（小石頭嘗試著來回答這個問題?。?/p>

設 V 是數域 K 上的 n 維線性空間，定義在 V 上的 r（≥ 1）元函數 f: V? → K，如果，對于每個參數都可以保持 線性運算（稱為 線性性），即，（對于任意 x, y ∈ V, k ∈ K, 1 ≤ i ≤ r ）

f(x1, ..., x? = x + y, ..., x?) = f(x1, ..., x, ..., x?) + f(x1, ..., y, ..., x?)

f(x1, ..., x? = kx, ..., x?) = kf(x1, ..., x, ..., x?)

則，稱 f 是 r元線性函數。

一般，稱 1元線性函數 為 （單）線性函數， 2元線性函數 為 雙 線性函數，2元以上的線性函數 為 多線性函數。

給定任意 r ≥ 0，將 全體 r 元 線性函數，記為 V?，這里規定 V? = K，即，0 元線性函數 就是 K 中的 常數。

注意：V? = V* 是 V 的對偶空間。關于 對偶空間 的詳細介紹可以參考 小石頭的另一個回答：怎么形象地理解對偶空間？

在 V? 上定義 線性運算（對于任意 f, g ∈ V?, k ∈ K）：

加法：(f + g)(x1, ..., x?) = f(x1, ..., x?) + g(x1, ..., x?)

數乘：(kf)(x1, ..., x?) = kf(x1, ..., x?)

則 V? 構成一個線性空間。

我們 也將 V? 中的 r元線性函數 稱為 r階（協變）張量，對于 任意 張量 f ∈ V? 和 g∈ V? 可以定義 一種積運算：

(f ? g)(x1, ..., x? , x??1, ..., x???) = f(x1, ..., x?)g(x??1, ..., x???)

稱 ? 為張量積。

顯然，對于 每個參數 1 ≤ i ≤ r ，f ? g 滿足線性性，因為：

(f ? g)(x1, ..., x? = x + y, ..., x?, x??1, ..., x???) = f(x1, ..., x? = x + y, ..., x?)g(x??1, ..., x???) = (f(x1, ..., x, ..., x?) + f(x1, ..., y, ..., x?))g(x??1, ..., x???) = f(x1, ..., x, ..., x?)g(x??1, ..., x???) + f(x1, ..., y, ..., x?)g(x??1, ..., x???) = (f ? g)(x1, ..., x, ..., x?, x??1, ..., x???) + (f ? g)(x1, ..., y, ..., x?, x??1, ..., x???)

(f ? g)(x1, ..., x? = kx, ..., x?, x??1, ..., x???) = f(x1, ..., x? = kx, ..., x?)g(x??1, ..., x???) = kf(x1, ..., x, ..., x?)g(x??1, ..., x???) = k(f ? g)(x1, ..., x, ..., x?, x??1, ..., x???)

對于 每個參數 r + 1 ≤ i ≤ r + u，f ? g 也滿足多線性性（原因和上面類似），故，f ? g ∈ V??? 是一個 r+u 階 張量。

如果，令 G = V? ∪ V? ∪ ? ，則 ? 在 G 中封閉，是 G 上的二元運算 ?: G×G → G。

同時，我們將 上面 V? 中定義加法運算擴展到 G 上：對于 張量 f ∈ V? 和 g∈ V? ，不妨設 r < u，則可以令，

f'(x1, ..., x?, 0, ..., 0) = f(x1, ..., x?)

其中，u-r 個 0。于是 f' ∈ V? ，這樣 利用 V? 的加法運算，得到新的定義：

(f + g)(x1, ..., x?, ..., x?) = (f' + g)(x1, ..., x?, ..., x?) = f'(x1, ..., x?, 0, ..., 0) + g(x1, ..., x?, ..., x?) = f(x1, ..., x?) + g(x1, ..., x?, ..., x?)

注意：這里并沒有 將 V? 中數乘運算 引入 G，因為： kf = k?f，f ∈ V?，k ∈ K = V? 。

這樣 G 上就同時具有 加法 + 和 張量積 ? 兩種運算，并且具有如下性質（對于任意 f, g, h ∈ G）：

加法 結合律：((f + g) + h))(...) = (f + g)(...) + h(...) = (f(...) + g(...)) + h(...) = f(...) + (g(...) + h(...)) = f(...) + (g + h)(...) = (f + (g + h))(...)；

加法 交換律 (f + g)(...) = f(...) + g(...) = g(...) + f(...) = (g + f)(...) ；

張量積 結合律：((f ? g) ? h))(...) = (f ? g)(...)h(...) = (f(...)g(...))h(...) = f(...)(g(...)h(...)) = f(...) (g ? h)(...) = (f ? (g ? h))(...)；

分配律：

((f + g) ? h)(...) = (f + g)(...)h(...) = (f(...) + g(...))h(...) = f(...)h(...) + g(...)h(...) = (f?h)(...) + (g?h)(...)；

((f ? (g + h)(...) = f(...) (g + h)(...) = f(...)(g(...) + h(...)) = f(...)g(...) + f(...)h(...) = (f?g)(...) + (f?h)(...)；

考察 ? 的交換律，對于 k ∈ V? = R 和 任意 f ∈ V? 來說，? 是滿足交換律的：

(k?f)(x1, ..., x?) = kf(x1, ..., x?) = f(x1, ..., x?)k = (f?k)(x1, ..., x?)

但，對于 任意 f ∈ V? (r ≥ 1) 和 g ∈ V? (u ≥ 1)，有，

(f ? g)(x1, ..., x?, x??1, ..., x???) = f(x1, ..., x?)g(x??1, ..., x???) = g(x??1, ..., x???)f(x1, ..., x?) = (g ? f)(x??1, ..., x???, x1, ..., x?)

而，交換律要求滿足：

(f ? g)(x1, ..., x?, y1, ..., y?) = (g ? f)(x1, ..., x?, y1, ..., y?)

所以，? 不一定滿足交換律，除非滿足條件 ①：

(g ? f)(x??1, ..., x???, x1, ..., x?) = (g ? f)(x1, ..., x?, y1, ..., y?)

設，ω? = {1, 2, ..., r}，則可以定義雙射 s: ω? → ω?，稱 s 是 ω? 的一個置換，我們將，ω? 的所有 置換 組成的集合，記為 Ω?。

每個 置換 s ∈ Ω? 都對應 一個 ω? 的全排列： s(1)s(2)?s(r) 。

考慮 r 和 u 的任意性，上面的條件 ① 等價于 條件 ①'：對于任意 f ∈ V?，s ∈ Ω?，都有，

f(x1, x2, ..., x?) = f(x??1?, x??2?, ..., x????)

稱 滿足這樣條件的函數 為 對稱函數。

一般的 線性函數 f 是 不滿足上面條件的，但我們可以 將 f 的 所有 參數置換后 的函數 進行算術平均，得到一個新函數：

S?(f) 顯然是 對稱的，稱 S?: V? → V? 為對稱化算子。

關于 交換律 和 對稱函數，我們就討論到這里打住，這不是外代數的重點。

我們發現，上面的等價條件 ①' 還可以進一步簡化為：對于任意 f ∈ V?，交換任意相鄰的兩個參數，函數值都保持不變，即，對于任意 1 ≤ i < r，有，

f(x1, ..., x?, x??1, ..., x?) = f(x1, ..., x??1, x?, ..., x?)

對這個條件稍作改進，得到一個新條件 ②：讓 交換 f ∈ V? 任意相鄰的兩個參數后函數都相反，即，對于任意 1 ≤ i < r，有，

f(x1, ..., x?, x??1, ..., x?) = -f(x1, ..., x??1, x?, ..., x?)

滿足 條件 ② 的函數 被稱為 反對稱函數。

由 反對稱函數 的條件 我們不難證明：

其中，N(s(1)s(2)?s(r)) 表示 s(1)s(2)?s(r) 的逆序數。這樣以來，仿照 f 的對稱化算子，我們可以定義 f 的反對稱化算子 A?: V? → V? 如下：

反對稱函數 f 具有一個重要的性質 ③：任意兩個不同參數值相當時，函數值必然為零，即，

f(x1, ..., x, ..., x, ..., x?) = 0

因為 任意位置的兩個參數都可以替換為 相鄰兩個參數，因此 我們只需要證明： 相鄰兩個參數相等函數值為零，就可以了，而 根據 條件 ② 有，

f(x1, ..., x, x, ..., x?) = -f(x1, ..., x, x, ..., x?)

f(x1, ..., x, x, ..., x?) + f(x1, ..., x, x, ..., x?) = 2f(x1, ..., x, x, ..., x?) = 0

f(x1, ..., x, x, ..., x?) = 0

設 e?, e?, ..., e_n 是 n 維度線性空間 V 的一組基，對于任意 f ∈ V?，以及 V 中的 任意 r 個向量，

利用 根據 f 的多線性性，有 ④，

定義函數 e? : V → K ，如下：

則，e? 為 向量的坐標分量索引函數，因為，對于任意向量 x = x?e? + x?e? + ... + x_ne_n 有：

e? (x) = e? (x?e? + x?e? + ...+ x?e?+ ... + x_ne_n) = x?e? (e?) + x?e? (e?) + ... + x?e? (e?) + ... + x_ne? (e_n) = x?0 + x?0 + ... + x?1 + ... + x_n0 = x?

又由于，

e?(x + y) = e?((x?, ..., x_n) + (y?, ..., y_n)) = e?((x? + y?, ..., x_n + y_n)) = x? + y? = e?(x) + e?(y)

e?(kx) = e?(k(x?, ..., x_n)) = e?((kx?, ..., kx_n)) = kx? = ke?(x)

所以 e? 是 線性函數，即， e? ∈ V?。

利用，新定義的 索引函數，可以 改寫 ④ 為 ④'：

可以證明：e1???e1, ..., e????e? 是線性無關，因此 它是 V? 的一組基，V? 的維度是 n? 。

我們，用 E? ? V? 表示 V? 中反對稱函數的全體，顯然，對于 r ＜ 2 談不上 交換參數，于是， E? = V?，E? = V?。

對于任意 f ∈ V?，根據 公式 ③，從 ④ 的結論處繼續，有，

回憶，《線性代數》中行列式的定義，我們發現 上面 圓括號中的 累積表達式，就是 行列式，即，

同時，利用 張量積 和 反對稱算子，這個 累積表達式 還可以進一步，改寫：

記，

則，得到 ⑤，

可以證明 C(n, r) 個 e???1? ∧ e???2? ∧ ? ∧ e????? 是線性無關，因此 它們是 E? 的一組基，進而 E? 是維度 為 C(n, r) 的線性空間 。

將，G 中所有 反對稱多線性函數 組成的集合，記為 E，則

E = E? ∪ E? ∪ ? ∪ E_n ∪ E_n+1 ∪ ?

考慮，對于 任意 f ∈ V?，當 r > n 時，任意 一組 參數 x1, x2 ..., x? ∈ V，由于 r 大于 V 的維度，所有 這組參數 必然線性相關，不妨設，x1 = a?x2 + ... + a?x?，帶入 f，再根據 f 的線性性，有：

f(x1, x2 ..., x?) = f(a?x2 + ... + a?x?, x2 ..., x?) = a?f(x2, x2 ..., x?) + ... + a?f(x?, x2 ..., x?) = a?0 + ... + a?0 = 0

也就是說，當 r > n 時，f(x1, x2 ..., x?) = 0，為常零函數。常零函數，當做 0 看待，于是 E_n+1 = ... = {0} ? E?，進而，有，

E = E? ∪ E? ∪ ? ∪ E_n

于是，E 是 一個維度 為 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2? 的 線性空間。

在 E 中，對于 任意 f ∈ E? 和 g ∈ E? 定義運算：

稱 ∧ 外積，(E, +, ∧) 為一個 外代數。

基于 ? 的分配律，可以推導出 ∧ 也滿足 分配率（設，任意 h ∈ E?）：

(f + g) ∧ h = f∧h + g∧h

f ∧ (g + h) = f∧g + f∧h

由 外積的定義，知道 (f ∧ g)(x1, ..., x?, x??1, ..., x???) = (g ∧ f )(x??1, ..., x???, x1, ..., x?)，而

(g ∧ f )(x??1, ..., x???, x1, ..., x?) = (-1)?(g ∧ f )(x1, x??1, ..., x???, x2, ..., x?) = (-1)2?(g ∧ f )(x1, x2, x??1, ..., x???, x3 ..., x?) = ... = (-1)?? (g ∧ f )(x1, ..., x?, x??1, ..., x???)

故，我的得到：

g ∧ f = (-1)?? g ∧ f

這稱為 反交換律。 特別地，對于 任意 f, g ∈ V? 有，

f ∧ g = - g ∧ f

再考慮，結合律，有，

(f ∧ g) ∧ h = f ∧ g = (r + u + v)! /(r+u)!v! ? A?????((f ∧ g) ? h) = (r + u + v)! /(r+u)!v! ? A?????(((r + u)! /r!u! ? A???(f ? g)) ? h) = (r + u + v)! / (r+u)!v! ? (r + u)! /r!u! ? A?????(A???(f ? g) ? h) = (r + u + v)! /r!u!v! ? A????? (A???(f ? g) ? h)

令 a???(f ? g ? h) 是對 f ? g ? h 的前 r+u 個參數進行部分 反對稱化，則，

A????? (A??? (f ? g) ? h) =A????? (a???(f ? g ? h)) = (A????? ° a???)(f ? g ? h)

注意，A????? 的操作依賴于全體 s ∈ Ω?????，a??? 的操作依賴于全體 s' ∈ Ω'????? = {s ∈ Ω????? | s(r+u+i) = r+u+i, i = 1, ..., v} 因為 Ω'????? ? Ω?????，所有 A????? ° a??? 操作依賴于全體 s ° s' ∈ Ω?????，這說明 A????? = A????? ° a???，即，反對稱算子的性質 ⑥，

A????? (A??? (f ? g) ? h) = A?????(f ? g ? h)

于是，我們得到 公式：

(f ∧ g) ∧ h = (r + u + v)! /r!u!v! ? A?????(f ? g ? h)

同理，可以證明：

f ∧ (g ∧ h) = (r + u + v)! /r!u!v! ? A?????(f ? g ? h)

故，∧ 滿足結合律：

(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h) = f ∧ g ∧ h

利用 ∧ 結合律 和 性質 ⑥，對于 一組 f? ∈ E??, i = 1, ..., v，不難得出：

f1 ∧ ... ∧ f?? = (r? + ... + r?) /r?! ? r?! ? A???...???(f1 ? ... ? f?? )

于是，有，

e???1? ∧ e???2? ∧ ? ∧ e????? = (1 + 1 + ... + 1)!/1!1!?1! ? A????...??(e???1? ? e???2? ? ? ? e????? ) = r! A?(e???1? ? e???2? ? ? ? e????? )

這說明，公式 ⑤ 處的記號，兼容 上面的 ∧ 定義。同時，根據 公式 ⑤，每一個參與 外積的 反對稱線性函數都 是 基 e1，e, ..., e? 的線性組合，于是，其實我們只需要 定義 出 ∧ 關于基的性質，也就定義等于 定義了 一個外代數。

設，V 是 K 上 的 n 維線性空間，e1，e, ..., e? 為 V 的一組基，令，E? (1≤ r ≤ n) 是以，

為基的 C(n, r) 維 線性空間，并令 E? = K。將這些線性空間的直和構成 的 2? 維線性空間，記為，

稱，E 上的 二元運算 ∧ 為 外積?！?滿以下條件（對于任意 1≤ i, j, k ≤ n）：

結合律：(e? ∧ e?) ∧ e? = e? ∧ (e? ∧ e?)；

反交換律：e? ∧ e? = - e? ∧ e? ；

分配律：(e? + e?) ∧ e? = e? ∧ e? + e? ∧ e?；

稱 由 ∧ 構成的表達式 稱為 外形式， (E, + , ∧) 外代數，也叫 Grassmann 代數。

這樣，我們就得到了一個抽象化的 外代數，上面 用張量積定義的 外代數 只是 Grassmann 代數 的一種實現。

到這里，關于外代數的知識， 就基本介紹完了。下面列舉一個具體實例，作為結尾：

考慮，V 是三維歐式空間 R3，e? = (1, 0, 0), e? = (0, 1, 0), e? = (0, 0, 1) 組成 R3 的一組 標準正交基，對于任意 向量 x1 = x??e? + x??e? + x??e? 和 x2 = x??e? + x??e + x??e? ，

當 f ∈ V? 時，有，

f(x1, x2) = f( x??e? + x??e? + x??e?, x??e? + x??e? + x??e?)

= x??f(e?, x??e? + x??e? + x??e?) + x??f(e?, x??e? + x??e? + x??e?) + x??f(e?, x??e? + x??e? + x??e?)

= x??(x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?)) + x??(x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?)) + x??(x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?) + x??f(e?, e?))

= x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?)

令，

a?? = f(e?, e?), a?? = f(e?, e?), ..., a?? = f(e?, e?)

再利用上面的 向量坐標分量函數 e1, e2, e3，我們得到：

f(x1, x2) =

a??e1(x1)e1(x2) + a??e1(x1)e2(x2) + a??e1(x1)e3(x2) +

a??e2(x1)e1(x2) + a??e2(x1)e2(x2) + a??e2(x1)e3(x2) +

a??e3(x1)e1(x2) + a??e3(x1)e2(x2) + a??e3(x1)e3(x2)

=

(a??e1?e1 + a??e1?e2 + a??e1?e3

+ a??e2?e1 + a??e2?e2 + a??e2?e3

+ a??e3?e1 + a??e3?e2 + a??e3?e3)(x1, x);

可見，e1?e1, ... e3?e3 是 V? 的基。

當 f ∈ E? 時，有，

f(x1, x2) = x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?)

= x??x??0 + x??x??f(e?, e?) + x??x??f(e?, e?) - x??x??f(e?, e?) + x??x??0 + x??x??f(e?, e?) - x??x??f(e?, e?) - x??x??f(e?, e?) + x??x??0

= (x??x?? - x??x??)f(e?, e?) + (x??x?? - x??x??)f(e?, e?) + (x??x?? - x??x??)f(e?, e?)

即，

同時，又有，

f = (e1?e2 - e2?e1)f(e?, e?) + (e2?e3 - e3?e2)f(e?, e?) + (e1?e3 - e3?e1)f(e?, e?)

= 2A?(e1?e2)f(e?, e?) + 2A?(e2?e3)f(e?, e?) + 2A?(e1?e3)f(e?, e?)

= f(e?, e?) e1∧e2 + f(e?, e?) e2∧e3 + f(e?, e?) e1∧e3

= a??e1∧e2 + a??e2∧e3 + a??e1∧e3

可見，e1∧e2, e2∧e3, e1∧e3 是 E? 的基。相應地，

E? 的基是 1;

E? 的基是 e1, e2, e3;

E? 的基時 e1∧e2∧e3;

這些基一定是線性無關的，因為，如果

A + Be1 + ... + Ee1∧e2 + ... + He1∧e2∧e3 = 0

等式兩個 同時外乘 以 e1∧e2∧e3，得到：

Ae1∧e2∧e3 + Be1∧e1∧e2∧e3 + ... + Ee1∧e2∧e1∧e2∧e3 + ... + He1∧e2∧e3∧e1∧e2∧e3 = 0

Ae1∧e2∧e3 = 0

A = 0

于是等式改為為：

Be1 + ... + Ee1∧e2 + ... + He1∧e2∧e3 = 0

等式兩邊同時外乘以 e2∧e3，得到：

Be1∧e2∧e3 + ... + Ee1∧e2∧e2∧e3 + ... + He1∧e2∧e3∧e2∧e3 = 0

Be1∧e2∧e3 = 0

B = 0

用類似的方法，最后就得到：

A = B = ... = E = ...= H = 0

（最后，小石頭數學水平有限，出錯在所難免，歡迎大家批評指正?。?/p>

補充（2020/3/27)：

證明 C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2? 可以利用 二項式定理，也可以用歸納法：

當 n = 1 時， C(1, 0) + C(1, 1) = 1 + 1 = 2 = 21，公式成立。

當 n 時，公式成立，當 n + 1 時，利用（0 < m ≤ n），

C(n+1, m)

= (n+1)!/m!(n+1-m)!

= (n+1)n!/m!(n-(m-1))!

= (m + n-(m-1))n!/m!(n-(m-1))!

= mn!/m!(n-(m-1))! + (n-(m-1)))n!/m!(n-(m-1))!

= n!/(m-1)!(n-(m-1))! + n!/m!(n-m)!

= C(n, m-1) + C(n, m)

有，

C(n + 1, 0) + C(n + 1, 1) + C(n + 1, 2) + ... + C(n + 1, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n - 1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n + 1, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n + 1, n + 1)

= C(n, 0) + C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + C(n, n) + C(n, n)

= 2C(n, 0) + 2C(n, 1) + 2C(n, 2) + ... + 2C(n, n-1) + 2C(n, n)

= 2(C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + ... + C(n, n-1) + C(n, n))

= 22? = 2??1