如何理解機器學習和統計中的AUC？
分三部分，第一部分是對AUC的基本介紹，包括AUC的定義，解釋，以及算法和代碼，第二部分用邏輯回歸作為例子來說明如何通過直接優化AUC來訓練，第三部分，內容完全由@李大貓原創——如何根據auc值來計算真正的類別，換句話說，就是對auc的反向工程。
1. 什么是AUC？
AUC是一個模型評價指標，只能用于二分類模型的評價，對于二分類模型，還有很多其他評價指標，比如logloss，accuracy，precision。如果你經常關注數據挖掘比賽，比如kaggle，那你會發現AUC和logloss基本是最常見的模型評價指標。為什么AUC和logloss比accuracy更常用呢？因為很多機器學習的模型對分類問題的預測結果都是概率，如果要計算accuracy，需要先把概率轉化成類別，這就需要手動設置一個閾值，如果對一個樣本的預測概率高于這個預測，就把這個樣本放進一個類別里面，低于這個閾值，放進另一個類別里面。所以這個閾值很大程度上影響了accuracy的計算。使用AUC或者logloss可以避免把預測概率轉換成類別。
AUC是Area under curve的首字母縮寫。Area under curve是什么呢，從字面理解，就是一條曲線下面區域的面積。所以我們要先來弄清楚這條曲線是什么。這個曲線有個名字，叫ROC曲線。ROC曲線是統計里面的概率，最早由電子工程師在二戰中提出來（更多關于ROC的資料可以參考維基百科）。
ROC曲線是基于樣本的真實類別和預測概率來畫的，具體來說，ROC曲線的x軸是偽陽性率（false positive rate），y軸是真陽性率（true positive rate)。那么問題來了，什么是真、偽陽性率呢？對于二分類問題，一個樣本的類別只有兩種，我們用0,1分別表示兩種類別，0和1也可以分別叫做陰性和陽性。當我們用一個分類器進行概率的預測的時候，對于真實為0的樣本，我們可能預測其為0或1，同樣對于真實為1的樣本，我們也可能預測其為0或1，這樣就有四種可能性：
真陽性率=（真陽性的數量）/（真陽性的數量+偽陰性的數量）
偽陽性率=（偽陽性的數量）/（偽陽性的數量+真陰性的數量）
有了上面兩個公式，我們就可以計算真、偽陽性率了。但是如何根據預測的概率得到真偽陽性、陰性的數量。
我們來看一個具體例子，比如有5個樣本：
真實的類別（標簽）是y=c(1,1,0,0,1)
一個分類器預測樣本為1的概率是p=c(0.5,0.6,0.55,0.4,0.7)
如文章一開始所說，我們需要選定閾值才能把概率轉化為類別，選定不同的閾值會得到不同的結果。如果我們選定的閾值為0.1，那5個樣本被分進1的類別，如果選定0.3，結果仍然一樣。如果選了0.45作為閾值，那么只有樣本4被分進0，其余都進入1類。一旦得到了類別，我們就可以計算相應的真、偽陽性率，當我們把所有計算得到的不同真、偽陽性率連起來，就畫出了ROC曲線，我們不需要手動做這個，因為很多程序包可以自動計算真、偽陽性率，比如在R里面，下面的代碼可以計算以上例子的真、偽陽性率并且畫出ROC曲線：
library(ROCR)
p=c(0.5,0.6,0.55,0.4,0.7)
y=c(1,1,0,0,1)
pred = prediction(p, y)
perf = performance(pred,"tpr","fpr")
plot(perf,col="blue",lty=3, lwd=3,cex.lab=1.5, cex.axis=2, cex.main=1.5,main="ROC plot")
得到了ROC曲線，那么曲線下面的面積也就可以算出來了，同樣，我們可以通過程序得到面積：
auc = performance(pred,"auc")
auc = unlist(slot(auc, "y.values"))
這個ROC的面積也就是我們要計算的AUC值。
通過AUC的定義我們知道了AUC是什么，怎么算，但是它的意義是什么呢。如果從定義來理解AUC的含義，比較困難，實際上AUC和Mann–Whitney U test有密切的聯系，我會在第三部說明。從Mann–Whitney U statistic的角度來解釋，AUC就是從所有1樣本中隨機選取一個樣本， 從所有0樣本中隨機選取一個樣本，然后根據你的分類器對兩個隨機樣本進行預測，把1樣本預測為1的概率為p1，把0樣本預測為1的概率為p0，p1>p0的概率就等于AUC。所以AUC反應的是分類器對樣本的排序能力。根據這個解釋，如果我們完全隨機的對樣本分類，那么AUC應該接近0.5。另外值得注意的是，AUC對樣本類別是否均衡并不敏感，這也是不均衡樣本通常用AUC評價分類器性能的一個原因。
有朋友用python，下面代碼用于在python里面計算auc：
from sklearn import metrics
def aucfun(act,pred):
fpr, tpr, thresholds = metrics.roc_curve(act, pred, pos_label=1)
return metrics.auc(fpr, tpr)
2. 可以直接優化AUC來訓練分類器嗎？
答案是肯定的，我在這里給出一個簡單的例子，通過直接優化AUC來訓練一個邏輯回歸模型。大家應該知道邏輯回歸通常是通過極大似然估計來訓練的，也就是最大化極大似然函數，這是統計里的概念，在機器學習里，對應logloss函數。我們通過下面的例子來訓練一個邏輯回歸是的AUC最大化：
#生成訓練數據
set.seed(1999)
x1 = rnorm(1000)
x2 = rnorm(1000)
z = 1 + 2*x1 + 3*x2
pr = 1/(1+exp(-z))
y = rbinom(1000,1,pr)
#使用logloss作為訓練目標函數
df = data.frame(y=y,x1=x1,x2=x2)
glm.fit=glm( y~x1+x2,data=df,family="binomial")
#下面使用auc作為訓練目標函數
library(ROCR)
CalAUC <- function(real,pred){
rocr.pred=prediction(pred,real)
rocr.perf=performance(rocr.pred,'auc')
as.numeric(rocr.perf@y.values)
}
#初始值
beta0=c(1,1,1)
loss <- function(beta){
z=beta[1]+beta[2]*x1+beta[3]*x2
pred=1/(1+exp(-z))
-CalAUC(y,pred)
}
res=optim(beta0,loss,method = "Nelder-Mead",control = list(maxit = 100))
cat("直接用AUC訓練:",-res$value)
cat("使用glm函數",CalAUC(y,glm.fit$fitted.values))
程序輸出結果：
直接用AUC訓練: 0.9339833
使用glm函數 0.9338208
可見，通過直接優化AUC，我們得到的AUC比直接優化logloss稍大一點點點點。
根據@西方不得不敗 提示，glmnet包自帶根據AUC來訓練邏輯回歸的功能，這里就不展開說啦。
理論上講，直接優化AUC在一定條件下就是rankboost算法（感興趣可以參見paper）。
對于最近十分火熱的xgboost包，也提供了直接優化AUC的功能，使用起來很簡單，只要把目標函數設置為：
objective = 'rank:pairwise'
3. 從AUC到真實類別（label）？
最開始思考這個問題是做一個網上的比賽，二分類問題，每次提交一組預測系統會計算出一個AUC值，因為這個比賽只有5000樣本，并且系統顯示的AUC值有小數點后面7、8位，所以我想是否可以通過可能通過AUC值計算出樣本的真實label來。也許并沒有實際價值，但是問題本身是很有趣的，像是在破解密碼。
一個naive但是可行但是效率很低的辦法， 就是每次生成一組預測值，里面只有一個樣本預測為1，其余都是0，然后提交預測計算AUC，然后根據這個AUC來判斷此樣本的label，但是這樣效率太低了，5000個樣本，需要5000次提交。
思考了很久，最后發現可以通過AUC的另一個計算公式入手。也就是第一部分說的U statistic。
3.1 根據一個AUC值計算樣本中0,1的數目
根據AUC與U statistic的聯系，我們可以用下面的代碼計算AUC：
auc＝(sum(rank(c(p(label==1),p(label==0)))[1:n1])-n1*(n1+1)/2)/n0/n1
上面label表示樣本的真實類別，p表示預測為1的概率，rank是R的內置函數，n0表示真實數據中0的數目，n1表示1的數目，n0+n1=n表示數據所有樣本數目，根據這個簡單的一行代碼，我們可以不用任何包來計算AUC。
上面公式很有趣，n0，n1還有label都是固定的，p不同導致auc不一致，觀察sum里面，可以發現這個sum本質是什么？就是計算pred里面對應的真實label為1的那些預測值的rank的和。
繼續使用第一部分的例子，5個樣本的預測值的rank：
rank(c(0.5,0.6,0.55,0.4,0.7))
[1] 2 4 3 1 5
其中真實為1的樣本（1,2,5）的對應rank是2,4,5，這三個rank值的和2+4+5=11，n0=2，n1=3，于是根據上面的AUC公式：(11-3*(3+1)/2)/2/3=5/6=0.83333，這個結果與我們在第一部分用AUC定義算的值完全一樣。
所以說，真正影響auc的，就是預測值里面對本來是1的樣本的預測的rank的和。
要破解真實label，第一部要做的是找到樣本里面0和1的數目，也就是n0和n1等于多少。這個問題不復雜。要知道相同預測值的rank也一致，就是說如果所有樣本的預測只取0或者1，那對應的rank只有兩個unique數值。
再觀察AUC公式里面的sum：
sum(rank(c(pred(label==1),pred(label==0)))[1:n1])
這個sum是n1個數值的和，這n1個數值，當我們的pred只有兩個不同取值的時候，僅包括兩個unique的數值。繼續用上面例子，一共有5個樣本，我們生成第一組預測p如下：
> p＝c(1,1,1,0,0)
> rank(p)
[1] 4.0 4.0 4.0 1.5 1.5
可見p的rank只有兩個不同取值，1.5和4，這是因為預測概率p也只有兩個不同取值。
然后我們還知道sum是n1個數的sum，我們不知道的是這n1個數，里面有幾個1.5，幾個4，假設其中有k1個1.5，k2個4，可以列出一個方程：
k1+k2=n1
k1*1.5+k2*4=sum(rank(c(p(label==1),p(label==0)))[1:n1])=auc*n0*n1+n1*(1+n1)/2
所以最終得到下面的方程組：
k1+k2=n1
k1*1.5+k2*4=0.833333*n0*n1+n1*(1+n1)/2
n0+n1=5
其中k1,k2和n1未知，兩個方程，3個未知數，屬于不定方程組，但是要知道k1，k2,和n1都是整數，并且有取值范圍，要借出來很簡單，寫一個for 循環，1秒中就可以找到一組滿足3個方程多k1，k2以及n1。
如果我們變更p，比如p＝c(rep(1,m),rep(0,5-m)),通過一樣的算法，可以計算出來前m個樣本中1的數量。
通過這個算法，我可以算出來這個貸款預測比賽測試數據中有509個1和4491個0。
做到這里，差點就放棄了，但是后來突然又有了靈感，找到了下面的算法：
3.2 根據AUC破解樣本的真實label
這里就省略思考過程了， 直接來破解算法：
對于一組總數為n的測試樣本，我們先來計算
m=floor(log(n,base=2))+1
這個m表示我們通過兩次auc計算可以計算出至少多少個樣本的真實label，比如n=5000，那么m=13
也就是說通過我們兩次提交，可以最少得到13個樣本的label。這13個樣本是可以自己隨便指定的，比如我們對前13個樣本感興趣，那么具體做法如下：
fix1=2^c(0:12)
fix2=c(fix1[-1],fix1[1])
unfixed=setdiff(1:5000,fix1)
p1=c(fix1,unfixed)#第1組預測
p2=c(fix2,unfixed)#第2組預測
使用上面的兩組預測p1和p2分別計算AUC，得到auc1和auc2，根據上面給出的auc算法：
sum(rank(c(p1(label==1),p1(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=auc1*n0*n1
sum(rank(c(p2(label==1),p2(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=auc2*n0*n1
兩個公式相減：
sum(rank(c(p1(label==1),p1(label==0)))[1:n1])-sum(rank(c(p2(label==1),p2(label==0)))[1:n1])-n1*(1+n1)/2=(auc1-auc2)*n0*n1
得到的這個等式里，我們已經通過上面的方法找到了n0和n1，auc1和auc2是已知，所以等式右面值可以算出，那么等式左面呢，因為我們兩個預測結果p1和p2只有前三個點的預測之不一樣，其余點的預測值一樣，rank也一樣，那么等式左面的兩個sum的差，其實只由前13個樣本的真實label決定，具體來說：
sum1-sum2=y1*(fix1[1]-fix2[1])+y2*(fix1[2]-fix2[2])+...+y13*(fix1[13]-fix2[13])
=y1*(-1)+y2*(-2)+...+y12*(-2048)+y13*(4095)
上面的方程里面yi代表樣本i的真實label，有且只有唯一解，以為這個方程本質上就是10進制數用2進制表達。所以通過兩次auc計算，我們可以找到13個點的真實標簽。比如對上面提到的貸款預測比賽，選定前13個label，auc1=0.50220853，auc2= 0.5017588，然后就可以算出來前13個test樣本只有第三個樣本是0，其余都是1。
但是13并不是上限，我有一些更好的結果，比較復雜，在這就不展開說了。