如何理解薛定諤方程？

本文較為硬核，請酌情跳過部分內容。

不過，若是你真想理解薛定諤方程，我建議你全看完。

薛定諤：德布羅意的論文是在說，波可以是粒子，粒子也可以是波。

德拜：有了波，就要有個波動方程。

薛定諤：我試試。

德布羅意方程組

二十世紀初，物理學界有一項大發現：

光，具有波粒二象性。

（可以用波動模型去描述光，也可以用粒子模型去描述光。）

這啟發了德布羅意，于是這位公子提出了物質波的思想。

簡單地說，人們習慣于將原子、電子這些實物用粒子模型去描述，而忽略了它們的波動屬性。

（這可不是一拍腦門兒就想出來的，而是德布羅意對哈密頓力學的深刻理解的體現。）

為此，德布羅意還寫出了這些實物對應的波的頻率和波長的公式：

這兩個公式被稱為德布羅意方程組。

f是波的頻率。

E是微觀粒子的能量。

λ是波的波長。

p是微觀粒子的動量。

h是普朗克常數。

h=6.62606896×10^（-34） J·s

這種波后來被稱為物質波，而薛定諤方程就是在描述物質波，主要用于描述電子的物質波。

（電子、原子、石頭、炮彈、星球、……，都可以被看成是物質波。）

經典的波函數

物理學的精髓是描述，最好是用數學語言描述。

如何用數學語言描述物質波呢？

別急，咱們先看看如何用數學語言描述經典的波。

你可能會問：上面的德布羅意方程組，難道沒有用數學語言描述物質波嗎？

可以說，描述地不完整。

至于怎么不完整？

還是要從經典的波談起。

波是振動形式在空間中的傳遞，想要描述波，就要先描述振動。

如何描述振動？

首先要清楚，振動有三個要素：

幅值、頻率、相位。

著重介紹一下相位，相位就是振動周期中的一個時刻。比較多個振動的先后順序的時候，就是在比較相位。

這三個要素可以被振動函數整合到一起。

在這里只考慮最簡單的振動：簡諧振動。

簡諧振動的振動函數是正弦函數（也可以是余弦函數）。

先看一下最簡單的正弦函數：

為它添加三個參數，就形成了振動函數：

u_0表示幅值。

ω表示角頻率，和頻率有相同的單位。

（ωt+φ）表示相位，其中的φ表示初始相位。

振動的三個要素，都被包含在振動函數里。

振動函數只有一個自變量，就是時間：t

（為了待會兒和波函數比較，我需要在這里使用偏向于數學的語言。）

那么，如何描述一個波？

波有五個要素：

幅值、頻率、波長、波速、相位。

和振動相比，多了波長和波速。

這五個要素可以被經典的波函數整合到一起。

頻率、波長、波速這三個量，只有兩個是獨立的，知道任意兩個，就可以求出第三個。

所以，暫時可以減去一個要素，只關注其中的四個要素。

經典的波函數自然也要包含這四個要素：

幅值、相位，以及頻率、波長、波速中的任意兩個量。

為了進一步簡化問題，這里介紹一維的波函數，波只朝一個方向傳播。

并且，不考慮波的衰減，波的幅值不變。

在這里只考慮最簡單的波：簡諧波。

（任意波形的波，都能由一系列的簡諧波疊加而成。）

簡諧波是簡諧振動在空間中的傳遞，可以從簡諧振動的振動函數出發，推導出簡諧波的波函數。

由于簡諧波在空間中傳播，因此它有有兩個自變量，時間：t、距離：x。

對于一個以波速v傳播的簡諧波，例如下圖：

A點離波源較近，B點離波源較遠，因此B點比A點的相位要滯后。

如果分別寫出A點和B點的振動函數，那么將A點的振動函數向右平移就可以得到B點的振動函數。

（左加右減，基本的數學知識還是要有的。）

向右平移的“距離”，就是簡諧波從A傳到B所需的時間。

（距離除以波速就是這個時間。）

以此類推，可以寫出波速為v，與波源距離為x的點的振動函數。

這其實就是波函數：

為了和上面的德布羅意方程組銜接，把波函數寫成用頻率f和波長λ表示的形式。

利用這兩個公式，可以把角頻率ω和波速v替換掉。

(有高中物理的基礎的話，對這兩個公式應該很熟悉。)

可以得到：

整理一下：

觀察一下經典的波函數，它整合了我們關注的四個要素，所以它完整地描述了經典的波。

還可以利用歐拉公式：

（i是虛數單位，i的平方等于-1。）

把經典的波函數寫成復指數形式：

（指數項前面有個負號，這只是個習慣，也可以不帶負號。）

有不少讀者反應：不理解把波函數寫成復指數形式的過程。

筆者在此詳細說明一下：

（部分讀者可以酌情跳過。）

首先需要一個公式：

（后面會說到這個公式的意義。）

把上面的那兩個歐拉公式分別相加和相減，會得到：

在這里簡單介紹一下復數和復平面：

依葫蘆畫瓢，可以得到下面這個公式：

所以可以得到：

然后我們需要知道的是：

任意波形的波，都能由一系列的正弦波相加而成！

把正弦函數或余弦函數寫成復指數形式以后，我們可以發現：

一系列的正弦波相加，其實就是一系列的復指數函數相加。

所以，可以把任意一個波的“最小單元”看成是：復指數函數。

（我們之前用正弦函數代表波，也是因為可以把任意一個波的“最小單元”看成是正弦函數。）

這樣一來，我們也可以用復指數函數來表示波：

波函數的復指數形式的內容是為了最終推導薛定諤方程做鋪墊。

至于為什么要寫成復指數形式，是因為對相位的表達更加方便。

波函數是正弦函數（余弦函數），而正弦函數（余弦函數）的導數僅僅只是相位超前了90度。

（導數就是變化率，有高中數學基礎的話，應該很熟悉。）

大部分人最早接觸的導數是這個：

它反應不出對正弦函數（余弦函數）求導的真正意義：

對寫成復指數形式的波函數求導數時，只需要乘一個虛數單位i。

乘一個虛數單位i，就表示相位超前了90度。

除以一個虛數單位i，就表示相位滯后了90度。

這個公式的意義也在于此。

物質波的波函數

和經典的波函數一比較，會發現：

德布羅意方程組并沒有完整地描述物質波。

（沒有把波的要素整合到一起。）

想要完整地描述物質波，就需要寫出物質波的波函數。

有了前面的鋪墊，這一步非常簡單。

直接把德布羅意方程組代入經典的波函數就行了！

可以得到：

（用能量和動量分別替換經典的波函數中的頻率和波長。）

還可以定義一個約化普朗克常數：

讓波函數變成：

由于物質波很特殊，所以用一個專門的符號Ψ來表示物質波的波函數：

也可以寫得簡單一點：

你經常在科普量子力學的作品中看到的那個Ψ，就是這里的波函數。

每個波函數，都描述了一種物質波。

經典的波動方程

波函數有了，那波動方程該怎么寫？

別急，咱們先看另一個問題：

我知道有人會問：

波函數不是已經可以描述物質波了嗎，為什么還要再寫個波動方程？

簡單地說，波函數是個代數方程，而物理學家需要的波動方程是個微分方程。

說白了，波函數只是表像，而波動方程才是內在的規律。

（說得數學一點，代數方程只是表像，而微分方程才是內在的規律。）

從波動方程出發，可以求解出各種各樣的波函數。

就像從牛頓第二定律出發，可以求解出各種各樣的運動軌跡。

（這個類比非常恰當，微觀粒子的波函數就相當于宏觀物體的運動軌跡。）

而薛定諤要構建的，就是可以比肩牛頓第二定律的波動方程。

換言之，薛定諤方程之于量子力學，猶如牛頓第二定律之于經典力學。

那這個波動方程到底該怎么寫？

還是要借鑒經典力學。

先觀察一下經典的波動方程。

當然，這是一維波動方程。

u是波函數，是關于t和x的函數。

c是波速。

（至于推導過程，夠寫一篇長文了，筆者在此略過。）

它有什么特點？

首先，有個等號。

其次，等號兩邊分別讓波函數對時間和距離求二階偏導數。

至于什么是偏導數，可以按物理意義理解成變化率。

（偏導數和導數只是名字不同，并沒有實質上的差別。）

上面這個式子是對時間求偏導數，表示的是波函數隨時間變化的快慢。

上面這個式子是對距離求偏導數，表示的是波函數隨距離變化的快慢。

求一個偏導數以后，還可以再對偏導數求偏導數，這就是二階偏導數。

比如，對時間求二階偏導數：

對距離求二階偏導數：

（具體內容夠寫半本微積分教材了，筆者在此略過。）

那好，咱們先把物質波的波函數對時間和距離求偏導數，再看看能構建什么樣的等量關系。

上面說過，物質波的波函數長這樣：

求偏導數以后，會驚奇地發現：

求偏導數之后，物質波的能量和動量被提取出來了！

（至于具體怎么計算偏導數，也夠寫一篇長文了，筆者在此略過。）

如果可以找到能量和動量的等量關系，那不就搞出了波動方程嗎？

（沒錯，就是依葫蘆畫瓢?。?/p>經典的能量-動量關系

能量和動量有什么等量關系？

在經典力學里，有兩種運動的量度：

動能：決定物體可以運動多長距離。

動量：決定物體可以運動多長時間。

動能是它：

動量是它：

m是物體的質量。

v是物體的運動速度。（暫且不考慮向量）

很容易看出，它們之間有著這樣的關系：

但我們需要找的是能量和動量的關系，而能量不只包括動能。

所以需要把上面式子的等號兩邊都加上勢能。

V是勢能。

（對于微觀粒子，按照經典力學的框架，沒有內能一說，所以微觀粒子的所有能量就是動能和勢能。）

這樣就得到了經典的能量-動量關系。

寫出薛定諤方程

把求偏導數得到的物質波的能量和動量代入經典的能量-動量關系，就得到了薛定諤方程！

具體的做法是：

觀察上面求偏導數的結果，會發現：

求偏導數之后，得到的是能量或動量與波函數的乘積。

求二階偏導數之后，得到的是能量或動量的平方與波函數的乘積。

所以我們先把經典的能量-動量關系兩邊乘一個波函數。

再從上面求偏導數的結果中整理出：

將這里的三個公式合在一起，就寫出了薛定諤方程！

（推導方法不唯一，文章里的推導方法僅供參考。）

和經典的波動方程對比一下：

會發現薛定諤方程只對時間求了一階導數，而波動方程必須要求對時間求了二階導數。

怎么辦？

不用慌，還記不記得乘一個虛數單位i代表什么？

求導！

這就是使用復指數函數的巧妙之處！

這樣一來，薛定諤方程的左邊也是求了二階導數，薛定諤方程是波動方程！

當然，剛剛推導的只是一維的薛定諤方程。

里面的波函數也是一維的波函數：

而空間有三個維度：

動量也有三個分量：

依葫蘆畫瓢，三維的波函數是：

在經典的能量-動量關系中，出現了動量的平方。

而動量的平方與其各個分量之間有著這樣的關系：

所以，三維的薛定諤方程是：

（能看懂一維的薛定諤方程的推導過程的話，在這里推導三維的薛定諤方程也就不成問題了。）

三維的薛定諤方程還可以寫成這樣：

寫成這樣是為了定義拉普拉斯算子：

這樣一來，可以用拉普拉斯算子把三維的薛定諤方程寫成：

也可以寫成：

寫成這樣是為了定義哈密頓算符：

用哈密頓算符來寫薛定諤方程：

這基本上就是薛定諤方程的最簡形式了。

當然，如果物質波的能量不隨時間變化，還可以寫成定態薛定諤方程：

（定態，就是能量不隨時間變化的意思。）

薛定諤方程等號兩邊的量，本來就是能量乘波函數。

概率波詮釋

上面提到過波的五個要素，我們考慮了其中的四個要素：

幅值、相位、頻率、波長。

對于物質波，頻率表示能量、波長表示動量、相位用于比較波與波之間的先后順序。

那幅值呢？

玻恩參透了這個秘密：

波函數的模平方，是微觀粒子出現的概率密度。

（有向量的基礎知識，就知道什么是模、什么是模平方。）

所以說，物質波是一種概率波。

既然是概率，就有個歸一化條件。

名字有些嚇人，其實就是說：

微觀粒子出現在所有位置的概率之和為1。

另外，上面的波函數是基于簡諧波寫出來的，而任意波形的波都可以由一系列的簡諧波疊加而成。

所以說，波函數是可以疊加的。

薛定諤方程的意義

薛定諤方程的建立，意味著波動力學誕生了。

而量子力學就是由矩陣力學和波動力學合并而成的。

（矩陣力學著眼于粒子，而不是波，和波動力學在數學上是等價的。）

那個時候，才算是有了量子力學。

就像相對論和相對論動力學還差得遠一樣，量子論和量子力學也還差得遠。

（筆者在上一篇問答作品中提到過：相對論和相對論動力學還差得遠。）

很多介紹量子力學的教科書和科普作品都把普朗克的量子化假設作為開端，并稱普朗克為量子之父。

這種做法確實合情合理，但也讓不少人產生了誤解：

普朗克提出量子化假設以后，量子力學就誕生了。

普朗克是量子力學之父。

而事實是：

普朗克提出量子化假設以后，量子論誕生了。

普朗克是量子論之父。

量子論是微觀世界的一個總體框架，而量子力學是依據這個框架建立的動力學理論。

寫出基于量子論的動力學方程，才算是有了量子力學。

薛定諤方程就是其中的一個動力學方程。

另外，薛定諤方程可以描述電子，而化學反應不過是原子最外層電子（價電子）的把戲。

所以，原則上，可以用薛定諤方程計算一切化學反應的結果。

量子化學也因此而生。

薛定諤方程的缺陷

其一，上面有個標題是經典的能量-動量關系，薛定諤方程是基于它建立的。

也就是說：當微觀粒子高速運動時，薛定諤方程就不可靠了。

解決方法：按相對論的能量-動量關系建立波動方程，就可以描述高速運動的微觀粒子了。

其二，薛定諤方程沒有考慮微觀粒子的自旋。

而電子、質子、中子、……，這些微觀粒子都是有自旋的。

解決方法：引入泡利矩陣。

這兩個缺陷最終被狄拉克方程一舉解決。