二重積分中的dx如何替換？

對于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成的。利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

這里的M，N是偏導數的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。

當變化量很小時，我們把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，

dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

其中的M*N剛好就是二維Jacobi行列式的展開形式。

所以兩邊同時乘以f(x,y),再積分，就是二重積分變量替換公式。