利用高斯公式計算曲面積分的基礎例題？

分別對x、y、z求偏導數后轉化為一個三重積分后有，3∫∫∫ydxdydz積分域為實心立方體。到此可以直接用直角坐標積分這個三重積分得出結果。但是本人這里使用一個對稱技巧。

3∫∫∫ydxdydz=3∫∫∫［(y-1/2)+1/2] dxdydz =3∫∫∫（y-1/2) dxdydz +3∫∫∫（1/2）dxdydz =0 + 3∫∫∫（1/2）dxdydz =（3/2）×1 =3/2（1為這個單位立方體體積。

注意∫∫∫（y-1/2) dxdydz因為這個立方體關于平面y-1/2=0對稱，且y-1/2=0為奇次方，所以積分值為0）。

高斯公式介紹：

1、基本概念：

首先，我們來看一下什么是高斯公式。

有一個定理如下：

設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍成，函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續偏導數，則有

或

這里Σ是Ω的整個邊界曲面的外側，cos α、cos β、cosγ 是Σ在點（x,y,z)處的法向量的方向余弦。其中的兩個公式均叫做高斯公式。

在計算曲面積分時，可以利用高斯公式把曲面積分化成三重積分。

在應用時需要注意定理的適用條件。定理中有三個關鍵詞：圍成、具有一階連續偏導數、外側。在使用時，注意以下幾點：

（1）先看看積分域是不是一個閉區域，如果不是，那么就需要補個面（一般是平面）。

（2）注意閉區域（無論是否是補面之后形成的）內是否在?P/?x、?Q/?y和?R/?z處連續（即奇點），如果是奇點，還需要用補面來把奇點去掉。

（3）注意題目給定曲面的側，到底是內側還是外側。

下圖可以簡明地列出這幾個點：

補面①一般是補平面，補面②一般是球面、橢球面、半球面、半橢球面等。靈活運用就可以了。