關(guān)于C語言的浮點數(shù)溢出應(yīng)該怎么從二進制代碼上理解？

關(guān)于C語言的浮點數(shù)溢出應(yīng)該怎么從二進制代碼上理解？我就來回答一下

電子計算機只能存儲0和1，人類世界所能認識的任何數(shù)據(jù)都需要通過轉(zhuǎn)換為二進制再進行存儲。整數(shù)（int）型轉(zhuǎn)換為二進制存儲很好理解，那么float型數(shù)據(jù)計算機又是怎么存儲的呢？常說的浮點型數(shù)據(jù)精度丟失和數(shù)據(jù)溢出又是怎么回事呢？

位和字節(jié)

位：來自英文bit，音譯為“比特”，表示二進制位。位是計算機內(nèi)部數(shù)據(jù)儲存的最小單位，11010100是一個8位二進制數(shù)。

字節(jié)：來自英文Byte，音譯為“拜特”，習(xí)慣上用大寫的“B”表示。字節(jié)是計算機中數(shù)據(jù)處理的基本單位。計算機中以字節(jié)為單位存儲和解釋信息，規(guī)定一個字節(jié)由八個二進制位構(gòu)成，即1個字節(jié)等于8個比特（1Byte=8bit）。八位二進制數(shù)最小為00000000，最大為11111111；通常1個字節(jié)可以存入一個ASCII碼，2個字節(jié)可以存放一個漢字國標(biāo)碼。

int型數(shù)據(jù)存儲

int型數(shù)據(jù)根據(jù)平臺類型不同，所占用字節(jié)大小也不同，這里就按正常的4個字節(jié)來講。整型分有符號和無符號，有符號左邊最高位為符號位。

unsigned int和signed in按四個字節(jié)計算，也就是4*8=32位。int默認是signed有符號位的。所以，unsigned int表示的范圍是：0~2的32次方-1。signed int表示的范圍是：-2的31次方~2的31次方-1。

例如+3，轉(zhuǎn)為二進制是0000 0011，但是計算機是按補碼存儲整型數(shù)據(jù)的，正數(shù)的補碼就是其本身，但是負數(shù)的補碼就不是了。這里不作細講，有興趣的朋友可以翻看我前面的文章，里面有詳細介紹。

float型數(shù)據(jù)存儲

浮點數(shù)轉(zhuǎn)二進制方法

十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)采用"乘2取整，按序取出"法。

整數(shù)部分按整數(shù)方式轉(zhuǎn)，用短除法，小數(shù)部分按如下方式，最后再用小數(shù)點合起來；

具體做法是：用2乘十進制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進行，直到積中的小數(shù)部分為零，或者達到所要求的精度為止。然后把取出的整數(shù)部分按順序排列起來，先取的整數(shù)作為二進制小數(shù)的高位有效位，后取的整數(shù)作為低位有效位。

例:0.734375轉(zhuǎn)二進制，結(jié)果是0.101111。

0.734375 x 2 = 1.46875

0.46875 x 2 = 0.9375

0.9375 x 2 = 1.875

0.875 x 2 = 1.75

0.75 x 2 = 1.5

0.5 x 2 = 1.0

IEEE二進制浮點數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)

浮點數(shù)的存儲方式與整型數(shù)據(jù)不同。浮點數(shù)運算有自己的標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)，也稱IEEE二進制浮點數(shù)算術(shù)標(biāo)準(zhǔn)（IEEE 754），是20世紀(jì)80年代以來最廣泛使用的浮點數(shù)運算標(biāo)準(zhǔn)，為許多CPU與浮點運算器所采用。

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)IEEE（電氣和電子工程協(xié)會）規(guī)定，任何一個浮點數(shù)NUM的二進制數(shù)可以寫為：NUM = (-1) ^ S * M * 2 ^ E;//(S表示符號，E表示階乘，M表示有效數(shù)字)

這個標(biāo)準(zhǔn)是什么意思呢？其實說白了就是二進制的科學(xué)計數(shù)法：

十進制：12345678 = 1.2345678*10^7 ；

二進制：例如十進制11.0，寫成二進制就是1011.0，用IEEE標(biāo)準(zhǔn)表示就是(-1)^0 × 1.011 × 2^3 ，s=0，M=1.011，E=3；

浮點數(shù)存儲

浮點數(shù)在內(nèi)存中的存儲按下圖所示方式存儲：

1、對于S，用來表示符號，0為正，1為負

2、對于M：規(guī)定M在存儲時舍去第一個1，只存儲小數(shù)點之后的數(shù)字。這樣做節(jié)省了空間，以float類型為例，就可以保存23位小數(shù)信息，加上舍去的1就可以用23位來表示24個有效的信息。

3、對于E（指數(shù)）E是一個字節(jié)（8位）整數(shù)所以E的取值范圍為（0~ 255），但是在計數(shù)中指數(shù)是可以為負的，所以規(guī)定在存入E時，在它原本的值上加上中間數(shù)（127），在使用時減去中間數(shù)（127），這樣E的真正取值范圍就成了（-127~128）。

因此對于32為單精度浮點數(shù)：在IEEE-754標(biāo)準(zhǔn)中，32位浮點數(shù)X的真值可表示為：

X = (-1)^S×(1.M)×2 ^(E-127);

精度丟失

了解了float型數(shù)據(jù)的存儲原理，接下來了解一下float精度丟失的原因，以浮點數(shù)2.7為例：

首先，十進制轉(zhuǎn)換成二進制。由于2.7無法用二進制精確表示，因此此處出現(xiàn)一次精度丟失。

2.7 => 10.10110011001…

然后，用IEEE標(biāo)準(zhǔn)表示二進制浮點數(shù)，得到s=0，M=1.010110011001…，E=1。

10.1011001… => (-1)^0 × 1.01011001… × 2^1

最后，按照IEEE標(biāo)準(zhǔn)保存數(shù)據(jù)。此時是單精度浮點數(shù)，M只能保存小數(shù)點后23位，多余的部分被丟棄了，因此此處又一次精度丟失。

溢出

既然存儲有位數(shù)限制，那么溢出就很好理解了。超過最大能表示的數(shù)就是上溢，超過最小能表示的數(shù)就是下溢，只要計算出最大和最小能表示的數(shù)十多大就可以得出上下溢出的極限：

上溢極限：

下溢極限：