自學(xué)微積分有什么書(shū)籍或課程推薦？

推薦普林斯頓微積分讀本（修訂版）這本書(shū)。

對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，微積分或許是他們?cè)?jīng)上過(guò)的倍感迷茫且很受挫折的一門(mén)課程了。本書(shū)不僅讓學(xué)生們能有效地學(xué)習(xí)微積分，更重要的是提供了戰(zhàn)勝微積分的可靠工具。

本書(shū)源于風(fēng)靡美國(guó)普林斯頓大學(xué)的阿德里安·班納教授的微積分復(fù)習(xí)課程，他激勵(lì)了一些考試前想獲得成功但考試結(jié)果卻平平的學(xué)生。

作者班納是美國(guó)普林斯頓大學(xué)的知名數(shù)學(xué)教授，并擔(dān)任新技術(shù)研究中心主任。他的授課風(fēng)格非正式、有吸引力并完全不強(qiáng)求，甚至在不失其詳盡性的基礎(chǔ)上又增添了許多娛樂(lè)性，而且他不會(huì)跳過(guò)討論一個(gè)問(wèn)題的任何步驟。

這本經(jīng)典著作將易用性與可讀性以及內(nèi)容的深度與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)完美地結(jié)合在一起。對(duì)于每一個(gè)想要掌握微積分的學(xué)生來(lái)說(shuō)，本書(shū)都是極好的資源。當(dāng)然，非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生也將大大受益。

本書(shū)是作者多年來(lái)給普林斯頓大學(xué)本科一年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)微積分的每周復(fù)習(xí)課。本書(shū)專(zhuān)注于講述解題技巧，目的是幫助讀者學(xué)習(xí)一元微積分的主要概念。深入處理一些基本內(nèi)容，還復(fù)習(xí)一些主題。本書(shū)不僅可以作為參考書(shū)，也可以作為教材，定會(huì)成為任何一位需要微積分知識(shí)人學(xué)習(xí)一元微積分的非常好的指導(dǎo)書(shū)。

第1 章函數(shù)、圖像和直線… … … … … … … …1

1．1 函數(shù)… … … … … … … …1

1．1．1 區(qū)間表示法… … … … … … … …3

1．1．2 求定義域… … … … … … … …3

1．1．3 利用圖像求值域… … … … … … … …4

1．1．4 垂線檢驗(yàn)… … … … … … … …5

1．2 反函數(shù)… … … … … … … …6

1．2．1 水平線檢驗(yàn)… … … … … … … …7

1．2．2 求反函數(shù)… … … … … … … …8

1．2．3 限制定義域… … … … … … … … 8

1．2．4 反函數(shù)的反函數(shù)… … … … … 9

1．3 函數(shù)的復(fù)合… … … … … … … … … … … … … 10

1．4 奇函數(shù)和偶函數(shù)… … … … … … … … … … 12

1．5 線性函數(shù)的圖像… … … … … … … … … … 14

1．6 常見(jiàn)函數(shù)及其圖像… … … … … … … … … 16

第2 章三角學(xué)回顧… … … … … … … … … … … … … 21

2．1 基本知識(shí)… … … … … … … … … … … … … … … 21

2．2 擴(kuò)展三角函數(shù)定義域… … … … … … … 23

2．2．1 ASTC 方法… … … … … … … … 25

2．2．2 [0， 2π] 以外的三角函數(shù)… … … … … … … … … … … … … 27

2．3 三角函數(shù)的圖像… … … … … … … … … … 29

2．4 三角恒等式… … … … … … … … … … … … … 32

第3 章極限導(dǎo)論… … … … … … … … … … … … … … … 34

3．1 極限：基本思想… … … … … … … … … … 34

3．2 左極限與右極限… … … … … … … … … … 36

3．3 何時(shí)不存在極限… … … … … … … … … … 37

3．4 在∞和-∞處的極限… … … … … 38

3．5 關(guān)于漸近線的兩個(gè)常見(jiàn)誤解… … … 41

3．6 三明治定理… … … … … … … … … … … … … 43

3．7 極限的基本類(lèi)型小結(jié)… … … … … … … 45

第4 章求解多項(xiàng)式的極限問(wèn)題… … … … … … 47

4．1 x → a 時(shí)的有理函數(shù)的極限… … … 47

4．2 x → a 時(shí)的平方根的極限… … … … 50

4．3 x → ∞時(shí)的有理函數(shù)的極限… … 51

4．4 x → ∞時(shí)的多項(xiàng)式型函數(shù)的極限… … 56

4．5 x → -∞ 時(shí)的有理函數(shù)的極限… … … … … 59

4．6 包含絕對(duì)值的函數(shù)的極限… … … … 61

第5 章連續(xù)性和可導(dǎo)性… … … … … … … … … … 63

5．1 連續(xù)性… … … … … … … … … … … … … … … … 63

5．1．1 在一點(diǎn)處連續(xù)… … … … … … … 63

5．1．2 在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)… … … … 64

5．1．3 連續(xù)函數(shù)的一些例子… … 65

5．1．4 介值定理… … … … … … … … … … 67

5．1．5 一個(gè)更難的介值定理

例子… … … … … … … … … … … … … 69

5．1．6 連續(xù)函數(shù)的最大值和

最小值… … … … … … … … … … … 70

5．2 可導(dǎo)性… … … … … … … … … … … … … … … … 71

5．2．1 平均速率… … … … … … … … … … 72

5．2．2 位移和速度… … … … … … … … 72

5．2．3 瞬時(shí)速度… … … … … … … … … … 73

5．2．4 速度的圖像闡釋… … … … … 74

5．2．5 切線… … … … … … … … … … … … … 75

5．2．6 導(dǎo)函數(shù)… … … … … … … … … … … 77

5．2．7 作為極限比的導(dǎo)數(shù)… … … … 78

5．2．8 線性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … 80

5．2．9 二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … … … … 80

5．2．10 何時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在… … … … … 81

5．2．11 可導(dǎo)性和連續(xù)性… … … … … 82

第6 章求解微分問(wèn)題… … … … … … … … … … … 84

6．1 使用定義求導(dǎo)… … … … … … … … … … … … 84

6．2 用更好的辦法求導(dǎo)… … … … … … … … … 87

6．2．1 函數(shù)的常數(shù)倍… … … … … … … 88

6．2．2 函數(shù)和與函數(shù)差… … … … … 88

6．2．3 通過(guò)乘積法則求積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … 88

6．2．4 通過(guò)商法則求商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … 90

6．2．5 通過(guò)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … 91

6．2．6 那個(gè)難以處理的例子… … 94

6．2．7 乘積法則和鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則的理由… … … … … … … 96

6．3 求切線方程… … … … … … … … … … … … … 98

6．4 速度和加速度… … … … … … … … … … … … 99

6．5 導(dǎo)數(shù)偽裝的極限… … … … … … … … … … 101

6．6 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … 103

6．7 直接畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)的圖像… … … … … … 106

第7 章三角函數(shù)的極限和導(dǎo)數(shù)… … … … … … 111

7．1 三角函數(shù)的極限… … … … … … … … … … 111

7．1．1 小數(shù)的情況… … … … … … … … 111

7．1．2 問(wèn)題的求解——小數(shù)的情況… … … … … … … … … … … 113

7．1．3 大數(shù)的情況… … … … … … … … 117

7．1．4 其他的" 情況… … … … … … 120

7．1．5 一個(gè)重要極限的證明… … 121

7．2 三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … 124

7．2．1 求三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)的例子… … … … … … … … … … … … … 127

7．2．2 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)… … … … … … … … … … 128

7．2．3 一個(gè)有趣的函數(shù)… … … … … 129

第8 章隱函數(shù)求導(dǎo)和相關(guān)變化率… … … … 132

8．1 隱函數(shù)求導(dǎo)… … … … … … … … … … … … … 132

8．1．1 技巧和例子… … … … … … … … 133

8．1．2 隱函數(shù)求二階導(dǎo)… … … … … 137

8．2 相關(guān)變化率… … … … … … … … … … … … … 138

8．2．1 一個(gè)簡(jiǎn)單的例子… … … … … 139

8．2．2 一個(gè)稍難的例子… … … … … 141

8．2．3 一個(gè)更難的例子… … … … … 142

8．2．4 一個(gè)非常難的例子… … … … 144

第9 章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)… … … … … … … 148

9．1 基礎(chǔ)知識(shí)… … … … … … … … … … … … … … … 148

9．1．1 指數(shù)函數(shù)的回顧… … … … … 148

9．1．2 對(duì)數(shù)函數(shù)的回顧… … … … … 149

9．1．3 對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及反函數(shù)… … … … … … … … … … 150

9．1．4 對(duì)數(shù)法則… … … … … … … … … … 151

9．2 e 的定義… … … … … … … … … … … … … … … 153

9．2．1 一個(gè)有關(guān)復(fù)利的問(wèn)題… … 153

9．2．2 問(wèn)題的答案… … … … … … … … 154

9．2．3 更多關(guān)于e 和對(duì)數(shù)函數(shù)的內(nèi)容… … … … … … … … 156

9．3 對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)… … … … 158

9．4 求解指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的極限… … … … … … …… … … … 161

9．4．1 涉及e 的定義的極限… … 161

9．4．2 指數(shù)函數(shù)在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … … 162

9．4．3 對(duì)數(shù)函數(shù)在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … … 164

9．4．4 指數(shù)函數(shù)在∞或-∞附近的行為… … … … … 164

9．4．5 對(duì)數(shù)函數(shù)在∞附近的行為… … … … … … … … … … … … … 167

9．4．6 對(duì)數(shù)函數(shù)在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … … 168

9．5 取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法… … … … … … … … … … … … 169

9．6 指數(shù)增長(zhǎng)和指數(shù)衰變… … … … … … … 173

9．6．1 指數(shù)增長(zhǎng)… … … … … … … … … … 174

9．6．2 指數(shù)衰變… … … … … … … … … … 176

9．7 雙曲函數(shù)… … … … … … … … … … … … … … … 178

第10 章反函數(shù)和反三角函數(shù)… … … … … … 181

10．1 導(dǎo)數(shù)和反函數(shù)… … … … … … … … … … … 181

10．1．1 使用導(dǎo)數(shù)證明反函數(shù)存在… … … … … … … … … … … … 181

10．1．2 導(dǎo)數(shù)和反函數(shù)：可能出現(xiàn)的問(wèn)題… … … … … … … … 182

10．1．3 求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)… … … … … 183

10．1．4 一個(gè)綜合性例子… … … … … 185

10．2 反三角函數(shù)… … … … … … … … … … … … 187

10．2．1 反正弦函數(shù)… … … … … … … … 187

10．2．2 反余弦函數(shù)… … … … … … … … 190

10．2．3 反正切函數(shù)… … … … … … … … 192

10．2．4 反正割函數(shù)… … … … … … … … 194

10．2．5 反余割函數(shù)和反余切函數(shù)… … … … … … … … … … … … 195

10．2．6 計(jì)算反三角函數(shù)… … … … … 196

10．3 反雙曲函數(shù)… … … … … … … … … … … … 199

第11 章導(dǎo)數(shù)和圖像… … … … … … … … … … … … 202

11．1 函數(shù)的極值… … … … … … … … … … … … 202

11．1．1 全局極值和局部極值… … 202

11．1．2 極值定理… … … … … … … … … 203

11．1．3 求全局最大值和最小值… … … … … … … … … … … … 204

11．2 羅爾定理… … … … … … … … … … … … … … 206

11．3 中值定理… … … … … … … … … … … … … … 209

11．4 二階導(dǎo)數(shù)和圖像… … … … … … … … … 212

11．5 對(duì)導(dǎo)數(shù)為零點(diǎn)的分類(lèi)… … … … … … 215

11．5．1 使用一次導(dǎo)數(shù)… … … … … … 215

11．5．2 使用二階導(dǎo)數(shù)… … … … … … 217

第12 章繪制函數(shù)圖像… … … … … … … … … … … 219

12．1 建立符號(hào)表格… … … … … … … … … … … 219

12．1．1 建立一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)表格… … … … … … … … … … … … 221

12．1．2 建立二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)表格… … … … … … … … … … … … 222

12．2 繪制函數(shù)圖像的全面方法… … … 224

12．3 例題… … … … … … … … … … … … … … … … … 225

12．3．1 一個(gè)不使用導(dǎo)數(shù)的例子… … … … … … … … … … … … 225

12．3．2 完整的方法：例一… … … 227

12．3．3 完整的方法：例二… … … 229

12．3．4 完整的方法：例三… … … 231

12．3．5 完整的方法：例四… … … 234

第13 章最優(yōu)化和線性化… … … … … … … … … 239

13．1 最優(yōu)化… … … … … … … … … … … … … … … 239

13．1．1 一個(gè)簡(jiǎn)單的最優(yōu)化例子… … … … … … … … … … … … 239

13．1．2 最優(yōu)化問(wèn)題：一般方法… … … … … … … … … … … … 240

13．1．3 一個(gè)最優(yōu)化的例子… … … 241

13．1．4 另一個(gè)最優(yōu)化的例子… … 242

13．1．5 在最優(yōu)化問(wèn)題中使用隱函數(shù)求導(dǎo)… … … … … … … … 246

13．1．6 一個(gè)較難的最優(yōu)化例子… … … … … … … … … … … … 246

13．2 線性化… … … … … … … … … … … … … … … 249

13．2．1 線性化問(wèn)題：一般方法… … … … … … … … … … … … 251

13．2．2 微分… … … … … … … … … … … … 252

13．2．3 線性化的總結(jié)和例子… … 254

13．2．4 近似中的誤差… … … … … … 256

13．3 牛頓法… … … … … … … … … … … … … … … 258

第14 章洛必達(dá)法則及極限問(wèn)題總結(jié)… … 263

14．1 洛必達(dá)法則… … … … … … … … … … … … 263

14．1．1 類(lèi)型A：0/0 … … … … … … … 263

14．1．2 類(lèi)型A：±∞/±∞ … … 266

14．1．3 類(lèi)型B1： (∞-∞) … … 267

14．1．4 類(lèi)型B2： (0 x±∞) … … 269

14．1．5 類(lèi)型C： 1±∞，00 或∞0… … … … 270

14．1．6 洛必達(dá)法則類(lèi)型的總結(jié)… … … … … … … … … … … … 272

14．2 關(guān)于極限的總結(jié)… … … … … … … … … 273

第15 章積分… … … … … … … … … … … … … … … … 276

15．1 求和符號(hào)… … … … … … … … … … … … … … 276

15．1．1 一個(gè)有用的求和… … … … … 279

15．1．2 伸縮求和法… … … … … … … … 280

15．2 位移和面積… … … … … … … … … … … … 283

15．2．1 三個(gè)簡(jiǎn)單的例子… … … … … 283

15．2．2 一段更常規(guī)的旅行… … … 285

15．2．3 有向面積… … … … … … … … … 287

15．2．4 連續(xù)的速度… … … … … … … … 288

15．2．5 兩個(gè)特別的估算… … … … … 291

第16 章定積分… … … … … … … … … … … … … … … 293

16．1 基本思想… … … … … … … … … … … … … … 293

16．2 定積分的定義… … … … … … … … … … … 297

16．3 定積分的性質(zhì)… … … … … … … … … … … 301

16．4 求面積… … … … … … … … … … … … … … … 305

16．4．1 求通常的面積… … … … … … 306

16．4．2 求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … … 308

16．4．3 求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … … 310

16．5 估算積分… … … … … … … … … … … … … … 313

16．6 積分的平均值和中值定理… … … 316

16．7 不可積的函數(shù)… … … … … … … … … … … 319

第17 章微積分基本定理… … … … … … … … … 321

17．1 用其他函數(shù)的積分來(lái)表示的函數(shù)… … … … … … … … … …… … 321

17．2 微積分的第一基本定理… … … … … 324

17．3 微積分的第二基本定理… … … … … 328

17．4 不定積分… … … … … … … … … … … … … … 329

17．5 怎樣解決問(wèn)題：微積分的第一基本定理… … … … … … … … … … … … 331

17．5．1 變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … … 332

17．5．2 變形2：積分上限是一個(gè)函數(shù)… … … … … … … … … 332

17．5．3 變形3：積分上下限都為函數(shù)… … … … … … … … … 334

17．5．4 變形4：極限偽裝成導(dǎo)數(shù)… … … … … … … … … … … … 335

17．6 怎樣解決問(wèn)題：微積分的第二基本定理… … … … … … … … … … … … 336

17．6．1 計(jì)算不定積分… … … … … … 336

17．6．2 計(jì)算定積分… … … … … … … … 339

17．6．3 面積和絕對(duì)值… … … … … … 341

17．7 技術(shù)要點(diǎn)… … … … … … … … … … … … … … 344

17．8 微積分第一基本定理的證明… … 345

第18 章積分的方法I… … … … … … … … … … … 347

18．1 換元法… … … … … … … … … … … … … … … 347

18．1．1 換元法和定積分… … … … … 350

18．1．2 如何換元… … … … … … … … … 353

18．1．3 換元法的理論解釋… … … 355

18．2 分部積分法… … … … … … … … … … … … 356

18．3 部分分式… … … … … … … … … … … … … … 361

18．3．1 部分分式的代數(shù)運(yùn)算… … 361

18．3．2 對(duì)每一部分積分… … … … … 365

18．3．3 方法和一個(gè)完整的例子… … … … … … … … … … … … 367

第19 章積分的方法II … … … … … … … … … … 373

19．1 應(yīng)用三角恒等式的積分… … … … … 373

19．2 關(guān)于三角函數(shù)的冪的積分… … … 376

19．2．1 sin 或cos 的冪… … … … … 376

19．2．2 tan 的冪… … … … … … … … … 378

19．2．3 sec 的冪… … … … … … … … … … 379

19．2．4 cot 的冪… … … … … … … … … … 381

19．2．5 csc 的冪… … … … … … … … … … 382

19．2．6 約化公式… … … … … … … … … 382

19．3 關(guān)于三角換元法的積分… … … … … 384

19．3．1 類(lèi)型1：pa2 ? x2 … … … 384

19．3．2 類(lèi)型2：px2 + a2 … … … 386

19．3．3 類(lèi)型3：px2 ? a2 … … … 387

19．3．4 配方和三角換元法… … … 388

19．3．5 關(guān)于三角換元法的總結(jié)… … … … … … … … … … … … 389

19．3．6 平方根的方法和三角換元法… … … … … … … … … … … 389

19．4 積分技巧總結(jié)… … … … … … … … … … … 391

第20 章反常積分：基本概念… … … … … … 393

20．1 收斂和發(fā)散… … … … … … … … … … … … 393

20．1．1 反常積分的一些例子… … 395

20．1．2 其他破裂點(diǎn)… … … … … … … … 397

20．2 關(guān)于無(wú)窮區(qū)間上的積分… … … … … 398

20．3 比較判別法(理論)… … … … … … … … 400

20．4 極限比較判別法(理論)… … … … … 402

20．4．1 函數(shù)互為漸近線… … … … … 402

20．4．2 關(guān)于判別法的陳述… … … 404

20．5 p 判別法(理論) … … … … … … … … … 405

20．6 絕對(duì)收斂判別法… … … … … … … … … 407

第21 章反常積分：如何解題… … … … … … 410

21．1 如何開(kāi)始… … … … … … … … … … … … … … 410

21．1．1 拆分積分… … … … … … … … … 410

21．1．2 如何處理負(fù)函數(shù)值… … … 411

21．2 積分判別法總結(jié)… … … … … … … … … 413

21．3 常見(jiàn)函數(shù)在∞ 和-∞附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … … 414

21．3．1 多項(xiàng)式和多項(xiàng)式型函數(shù)在∞ 和-∞ 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … 415

21．3．2 三角函數(shù)在∞ 和-∞ 附近的表現(xiàn)… … … … 417

21．3．3 指數(shù)在∞和-∞附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … 419

21．3．4 對(duì)數(shù)在∞ 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … … … … 422

21．4 常見(jiàn)函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … 426

21．4．1 多項(xiàng)式和多項(xiàng)式型函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … 426

21．4．2 三角函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … … … … 427

21．4．3 指數(shù)函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … … … … 429

21．4．4 對(duì)數(shù)函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … … … … 430

21．4．5 更一般的函數(shù)在0 附近的表現(xiàn)… … … … … … … … … 431

21．5 如何應(yīng)對(duì)不在0 或1 處的瑕點(diǎn)… … … … … … … … … … …… … … 432

第22 章數(shù)列和級(jí)數(shù)：基本概念… … … … … 434

22．1 數(shù)列的收斂和發(fā)散… … … … … … … … 434

22．1．1 數(shù)列和函數(shù)的聯(lián)系… … … 435

22．1．2 兩個(gè)重要數(shù)列… … … … … … 436

22．2 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散… … … … … … … … 438

22．3 第n 項(xiàng)判別法(理論) … … … … … … 442

22．4 無(wú)窮級(jí)數(shù)和反常積分的性質(zhì)… … 443

22．4．1 比較判別法(理論) … … … 443

22．4．2 極限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … … 444

22．4．3 p 判別法(理論)… … … … … 444

22．4．4 絕對(duì)收斂判別法… … … … … 445

22．5 級(jí)數(shù)的新判別法… … … … … … … … … 447

22．5．1 比式判別法(理論) … … … 447

22．5．2 根式判別法(理論) … … … 449

22．5．3 積分判別法(理論) … … … 450

22．5．4 交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法(理論) … … … … … … … … … … … 453

第23 章求解級(jí)數(shù)問(wèn)題… … … … … … … … … … 455

23．1 求幾何級(jí)數(shù)的值… … … … … … … … … 455

23．2 應(yīng)用第n 項(xiàng)判別法… … … … … … … 457

23．3 應(yīng)用比式判別法… … … … … … … … … 457

23．4 應(yīng)用根式判別法… … … … … … … … … 461

23．5 應(yīng)用積分判別法… … … … … … … … … 462

23．6 應(yīng)用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法… … … … … … … … 463

23．7 應(yīng)對(duì)含負(fù)項(xiàng)的級(jí)數(shù)… … … … … … … … 468

第24 章泰勒多項(xiàng)式、泰勒級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)導(dǎo)論… … … … … … … … … 472

24．1 近似值和泰勒多項(xiàng)式… … … … … … 472

24．1．1 重訪線性化… … … … … … … … 472

24．1．2 二次近似… … … … … … … … … 473

24．1．3 高階近似… … … … … … … … … 474

24．1．4 泰勒定理… … … … … … … … … 475

24．2 冪級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)… … … … … … … … 478

24．2．1 一般冪級(jí)數(shù)… … … … … … … … 479

24．2．2 泰勒級(jí)數(shù)和麥克勞林級(jí)數(shù)… … … … … … … … … … … … 481

24．2．3 泰勒級(jí)數(shù)的收斂性… … … 481

24．3 一個(gè)有用的極限… … … … … … … … … 485

第25 章求解估算問(wèn)題… … … … … … … … … … 487

25．1 泰勒多項(xiàng)式與泰勒級(jí)數(shù)總結(jié)… … 487

25．2 求泰勒多項(xiàng)式與泰勒級(jí)數(shù)… … … 488

25．3 用誤差項(xiàng)估算問(wèn)題… … … … … … … … 491

25．3．1 第一個(gè)例子… … … … … … … … 492

25．3．2 第二個(gè)例子… … … … … … … … 494

25．3．3 第三個(gè)例子… … … … … … … … 495

25．3．4 第四個(gè)例子… … … … … … … … 496

25．3．5 第五個(gè)例子… … … … … … … … 497

25．3．6 誤差項(xiàng)估算的一般方法… … … … … … … … … … … … 499

25．4 誤差估算的另一種方法… … … … … 499

第26 章泰勒級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)：如何解題… … … … … … … …… … … … … 502

26．1 冪級(jí)數(shù)的收斂性… … … … … … … … … 502

26．1．1 收斂半徑… … … … … … … … … 502

26．1．2 求收斂半徑和收斂區(qū)域… … … … … … … … … … … … 504

26．2 合成新的泰勒級(jí)數(shù)… … … … … … … … 508

26．2．1 代換和泰勒級(jí)數(shù)… … … … … 509

26．2．2 泰勒級(jí)數(shù)求導(dǎo)… … … … … … 511

26．2．3 泰勒級(jí)數(shù)求積分… … … … … 512

26．2．4 泰勒級(jí)數(shù)相加和相減… … 514

26．2．5 泰勒級(jí)數(shù)相乘… … … … … … 515

26．2．6 泰勒級(jí)數(shù)相除… … … … … … 516

26．3 利用冪級(jí)數(shù)和泰勒級(jí)數(shù)求導(dǎo)… … 517

26．4 利用麥克勞林級(jí)數(shù)求極限… … … 519

第27 章參數(shù)方程和極坐標(biāo)… … … … … … … 523

27．1 參數(shù)方程… … … … … … … … … … … … … … 523

27．2 極坐標(biāo)… … … … … … … … … … … … … … … 528

27．2．1 極坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)互換… … … … … … … … … … … … 529

27．2．2 極坐標(biāo)系中畫(huà)曲線… … … 530

27．2．3 求極坐標(biāo)曲線的切線… … 534

27．2．4 求極坐標(biāo)曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … … 535

第28 章復(fù)數(shù)… … … … … … … … … … … … … … … … 538

28．1 基礎(chǔ)… … … … … … … … … … … … … … … … … 538

28．2 復(fù)平面… … … … … … … … … … … … … … … 541

28．3 復(fù)數(shù)的高次冪… … … … … … … … … … … 544

28．4 解zn = w … … … … … … … … … … … … … 545

28．5 解ez = w … … … … … … … … … … … … … 550

28．6 一些三角級(jí)數(shù)… … … … … … … … … … … 552

28．7 歐拉恒等式和冪級(jí)數(shù)… … … … … … 554

第29 章體積、弧長(zhǎng)和表面積… … … … … … 556

29．1 旋轉(zhuǎn)體的體積… … … … … … … … … … … 556

29．1．1 圓盤(pán)法… … … … … … … … … … … 557

29．1．2 殼法… … … … … … … … … … … … 558

29．1．3 總結(jié)和變式… … … … … … … … 560

29．1．4 變式1：區(qū)域在曲線和y 軸之間… … … … … … … 561

29．1．5 變式2：兩曲線間的區(qū)域… … … … … … … … … … … … 562

29．1．6 變式3：繞平行于坐標(biāo)軸的軸旋轉(zhuǎn)… … … … … 565

29．2 一般立體體積… … … … … … … … … … … 567

29．3 弧長(zhǎng)… … … … … … … … … … … … … … … … … 571

29．4 旋轉(zhuǎn)體的表面積… … … … … … … … … 574

第30 章微分方程… … … … … … … … … … … … … 578

30．1 微分方程導(dǎo)論… … … … … … … … … … … 578

30．2 可分離變量的一階微分方程… … 579

30．3 一階線性方程… … … … … … … … … … … 581

30．4 常系數(shù)微分方程… … … … … … … … … 585

30．4．1 解一階齊次方程… … … … … 586

30．4．2 解二階齊次方程… … … … … 586

30．4．3 為什么特征二次方程適用… … … … … … … … … … … … 587

30．4．4 非齊次方程和特解… … … 588

30．4．5 求特解… … … … … … … … … … … 589

30．4．6 求特解的例子… … … … … … 590

30．4．7 解決yP 和yH 間的沖突… … … … … … … … … … … … 592

30．4．8 IVP … … … … … … … … … … … … 593

30．5 微分方程建模… … … … … … … … … … … 595

附錄A 極限及其證明… … … … … … … … … … 598

A．1 極限的正式定義… … … … … … … … … … 598

A．2 由原極限產(chǎn)生新極限… … … … … … … 602

A．3 極限的其他情形… … … … … … … … … … 606

A．4 連續(xù)與極限… … … … … … … … … … … … … 611

A．5 再談指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)… … … … 616

A．6 微分與極限… … … … … … … … … … … … … 618

A．7 泰勒近似定理的證明… … … … … … … 627

附錄B 估算積分… … … … … … … … … … … … … 629

B．1 使用條紋估算積分… … … … … … … … 629

B．2 梯形法則… … … … … … … … … … … … … … 632

B．3 辛普森法則… … … … … … … … … … … … … 634

B．4 近似的誤差… … … … … … … … … … … … … 636

符號(hào)列表… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 640

索引… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 643