<div>散度是矢量場在某一點上的一個標量值，它描述了矢量場從該點向外擴散或向該點收縮的趨勢。在物理學和工程學中，散度是一個重要的概念，用于描述流體力學、電磁場和其他矢量場的性質。</div>
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下面我們通過幾個代碼案例來詳細解釋散度的概念。

1. 二維矢量場的散度

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
<br>
def divergence_2d(fx, fy, x, y):
dfxdx = np.gradient(fx, x)[0]
dfydy = np.gradient(fy, y)[1]
return dfxdx + dfydy
<br>
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
<br>
fx = -Y
fy = X
<br>
div = divergence_2d(fx, fy, x, y)
<br>
plt.streamplot(X, Y, fx, fy)
plt.contourf(X, Y, div, alpha=0.7, levels=20)
plt.colorbar()
plt.title('Divergence of a 2D Vector Field')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

在這個例子中，我們定義了一個二維矢量場，并計算了該矢量場在每個點上的散度。通過使用matplotlib庫的streamplot函數和contourf函數，我們可以可視化矢量場的流動和散度。從圖中可以看出，在每個點上，箭頭所指的方向表明了矢量場的流動方向，而顏色表示了散度的大小。

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2. 三維矢量場的散度

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
<br>
def divergence_3d(fx, fy, fz, x, y, z):
dfxdx = np.gradient(fx, x)[0]
dfydy = np.gradient(fy, y)[1]
dfzdz = np.gradient(fz, z)[2]
return dfxdx + dfydy + dfzdz
<br>
x = np.linspace(-5, 5, 50)
y = np.linspace(-5, 5, 50)
z = np.linspace(-5, 5, 50)
X, Y, Z = np.meshgrid(x, y, z)
<br>
fx = Y - Z
fy = Z - X
fz = X - Y
<br>
div = divergence_3d(fx, fy, fz, x, y, z)
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fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.quiver(X, Y, Z, fx, fy, fz)
ax.scatter(X, Y, Z, c=div, cmap='coolwarm')
ax.set_title('Divergence of a 3D Vector Field')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.show()

在這個例子中，我們定義了一個三維矢量場，并計算了該矢量場在每個點上的散度。通過使用matplotlib庫的quiver函數和scatter函數，我們可以可視化矢量場的方向和散度。從圖中可以看出，箭頭表示了矢量場的方向，而顏色表示了散度的大小。

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通過以上兩個案例，我們可以清晰地了解散度的概念和計算方法。散度在物理學和工程學中具有廣泛的應用，例如在流體力學中，散度可用于描述流體在某一點的流入流出情況；在電磁學中，散度可用于描述電場和磁場的發散或收斂情況。

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