√2這樣的無理數(shù)有什么不同嗎？

問題1：π和e √2這樣的無理數(shù)有什么不同嗎？

就數(shù)字的分類來說，π 和 e 并無多大區(qū)別，到是它們與√2 有所不同：

√2 是整系數(shù)（一元多項式）方程 x2-2=0 的根，我們稱這樣的，是整系數(shù)方程的根的，數(shù)字為代數(shù)數(shù)。

有理數(shù) b/a（a≠0）是整系數(shù)方程 ax-b=0 的根，所以 有理數(shù) 一定是 代數(shù)數(shù)。

虛單位 i 是整系數(shù)方程 x2+1=0 的根，所以 i 是代數(shù)數(shù)。

可以證明：π、e 不是任何 整系數(shù)方程的根，稱這種數(shù)字為超越數(shù)。

問題2：為什么很多人都說跟宇宙，數(shù)學體系之類的有關(guān)？

這句話的意思是說：

表示 π 的小數(shù) 3.1415926... 中含有任何數(shù)字組合。 ①

如果，一個實數(shù)的小數(shù)表示中含有任何數(shù)學組合，則 稱 這個實數(shù)為和取數(shù)！

由于，一個數(shù)字組合對應(yīng)一個自然數(shù)，于是：

顯然，是一個和取數(shù)。

所有有理數(shù)，要么是有限小數(shù)，要么是無限循環(huán)小數(shù)，所以包含的數(shù)學組合有限，于是 有理數(shù) 一定不是和取數(shù)。

另外，一個相關(guān)的概念是正規(guī)數(shù)，其定義為：

如果，一個實數(shù)的小數(shù)表示中各數(shù)字出現(xiàn)的幾率相當，則稱其為正規(guī)數(shù)。

可以證明：所有自然數(shù)鏈接而成的小數(shù)：

0.1234567891011213...

以及所有素數(shù)鏈接而成的小數(shù)：

0.23571113...

都是正規(guī)數(shù)。

大家可能覺得它們中0出現(xiàn)的幾率小，但是請不要忘記，它們中都含有無數(shù)個0，這和我們有限下的概率直覺不符合！

正規(guī)數(shù)可以保證任何數(shù)字組合出現(xiàn)的幾率也相同，于是正規(guī)數(shù)一定是和取數(shù)！

那么，π 是不是 和取數(shù) 或 正規(guī)數(shù) 呢？

目前還沒有辦法證明，也就是說 ① 只是猜想！

（這算是回答了題主的問題！接下來趁著這個機會，順便和大家聊聊超越數(shù)的相關(guān)知識，不喜歡證明的條友可以忽略！）

最早，證明超越數(shù) 存在的是 劉維爾，他在1844年，構(gòu)造并證明了超越數(shù)：

法國數(shù)學家埃爾米特，于1873年，第一個證明了e是超越數(shù)，該證明的簡化版如下：

任何（一元）n次多項式，

的各階導數(shù)之和，構(gòu)成的另外一個n次多項式：

其中，高于 n 階的導數(shù)均為零，即，

對于 F(x) 有，

然后，對等式兩邊，在區(qū)間 [0, k] 上求 定積分，再 結(jié)合 牛頓-萊布尼茲公式，有，

等式兩邊 乘以 e?，整理得：

假設(shè) e 是 代數(shù)數(shù)，則它必然是某整系數(shù)方程的根，不妨設(shè) ②：

令 k = 0, 1, 2, ..., m 則 由 (1) 得到 m + 1 個等式，將這些等式 分別 兩邊乘以 b?, b?, b?, ..., b_m 然后相加得到：

設(shè) p 是 素數(shù)，重令 f(x) = 0 是 根為 0, 1, 2, ..., m 的 整系數(shù)方程，并且 0 是 p-1 重根，1,2, ..., m 都是 p 重根，于是，有 ③：

顯然，這時 的 f(x) 的是 n = mp + p - 1 次，于是有，

對于，任意 k = 1, ..., m，令，

則，根據(jù)：

有，

當 i < p 時，f???(x) 各項均含有 (x-k)，故 f???(k) = 0，當 p ≤ i ≤ n 時，有，

于是，

進而，

顯然 K? 是整數(shù)。

再考慮 k = 0 時，與上面類似，令，

則，有，

當 i < p - 1 時 和前面一樣f???(k)= 0，現(xiàn)在考慮 p ≤ i ≤ n 時，因為，

故，

于是，

顯然 K? 是整數(shù)。

綜上，(2) 式 變?yōu)椋?/p>

等式兩邊 同時 除以 (p-1)!，整理得到：

因為 p， b?， m，K? 和 K? 都是整數(shù)，所以，(2') 右邊 是一個 整數(shù)，隨著 p → ∞，當 p > max{b?, m} ，因為 p 還是素數(shù)，故 p 不能整除 (-1)?b?(m!)?，而 顯然 p 整除 p(K? + K?)，于是 p 不能整除 右邊。因為，0 是可以被任何 素數(shù) 整除的 數(shù)字， 所以： 當 p → ∞ 時，右邊 ≠ 0。

再看，(2') 左邊，對于任意 0 < x < m ，有：

于是，

A 是一個常數(shù)，又因為，

故，當 p → ∞ 時， 左邊 = 0 ④。

產(chǎn)生矛盾，假設(shè)不成立！e 不代數(shù)數(shù)，是超越數(shù)！□

上面證明過程，也可以 用 拉格朗日中值定理 替代 牛頓-萊布尼茲公式， 替換后的 證明過程類似！

以上的證明中判斷 (2') 右邊是非零整數(shù)，有些繁瑣，后來希爾伯特對其進行了改進：

我們知道，伽瑪函數(shù) 的整數(shù)情況為：

于是，對于 任意多項式：

有：

這說明 ⑤：

依然，假設(shè) ② 以及 重令 ③，對 ② 兩邊乘以積分：

有，

對于 k = 1, ..., m，有，

將 [] 括號 中的部分 當做前面的 g(x) 則 根據(jù) ⑤ 結(jié)論有，

而，

將 [] 括號 中的部分 當做前面的 g(x) , p-1 當做前面的 p，則 根據(jù) ⑤ 結(jié)論有，

其中， b?(-1)?(m!)? 是非零整數(shù)，于是，

b?(-1)?(m!)?| ≥ 1

再根據(jù) ④ 處的 結(jié)論，當 p 足夠大時，存在 |ε| < 1 使得：

綜上，等式 (⑥) 的 左邊為：

這與 等式 (⑥) 右邊 為零 矛盾！ □

在 埃爾米特 之后，又有數(shù)學家，陸陸續(xù)續(xù)的證明了個別超越數(shù)，但是一直都沒有找到判別有效方法，直到 林德曼 證明了 林德曼-魏爾斯特拉斯定理：

設(shè)，α?, α?, ..., α? 是一組 兩兩 不相同的 代數(shù)數(shù)，則對于 任何 全非零的 代數(shù)數(shù)組 β?, β?, ..., β? ，都有，

利用，這個定理，很容證明 π 的超越性：

假設(shè)，iπ 是代數(shù)數(shù)，則根據(jù)，歐拉公式，有：

顯然 iπ，0 是兩兩 不相同的 代數(shù)數(shù)， 1, 1 全非零的 代數(shù)數(shù)組，于是 上面 的等式 與 林德曼-魏爾斯特拉斯定理 矛盾！

故，假設(shè) 不成了，iπ 是超越數(shù)。而前面的結(jié)論有 i 是代數(shù)數(shù)，故 π 必然是超越數(shù)！ □

（限于篇幅，關(guān)于林德曼-魏爾斯特拉斯定理 的證明 就不在這里展開了，以后有機會再介紹給大家！）