自然數(shù)的兩個屬性？

自然數(shù)用以計量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)。即用數(shù)碼0，1，2，3，4，……所表示的數(shù)。表示物體個數(shù)的數(shù)叫自然數(shù)，自然數(shù)由0開始，一個接一個，組成一個無窮的集體。自然數(shù)有有序性，無限性。分為偶數(shù)和奇數(shù)，合數(shù)和質(zhì)數(shù)等。

1、對自然數(shù)可以定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

a + 0 = a；

a + S（x） = S（a +x）， 其中，S（x）表示x的后繼者。

如果我們將S（0）定義為符號“1”，那么b + 1 = b + S（0） = S（ b + 0 ） = S（b），即，“+1”運算可求得任意自然數(shù)的后繼者。

同理，乘法運算“×”定義為：

a × 0 = 0;

a × S（b） = a × b + a

自然數(shù)的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。

2、有序性。自然數(shù)的有序性是指，自然數(shù)可以從0開始，不重復(fù)也不遺漏地排成一個數(shù)列：0，1，2，3，…這個數(shù)列叫自然數(shù)列。一個集合的元素如果能與自然數(shù)列或者自然數(shù)列的一部分建立一一對應(yīng)，我們就說這個集合是可數(shù)的，否則就說它是不可數(shù)的。

3、無限性。自然數(shù)集是一個無窮集合，自然數(shù)列可以無止境地寫下去。

對于無限集合來說“，元素個數(shù)”的概念已經(jīng)不適用，用數(shù)個數(shù)的方法比較集合元素的多少只適用于有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創(chuàng)立者德國數(shù)學(xué)家康托爾引入了一一對應(yīng)的方法。

這一方法對于有限集合顯然是適用的，21世紀(jì)把它推廣到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應(yīng)，我們就認(rèn)為這兩個集合的元素是同樣多的。

對于無限集合，我們不再說它們的元素個數(shù)相同，而說這兩個集合的基數(shù)相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質(zhì)，其一是它可以與自己的真子集建立一一對應(yīng)，例如：

0 1 2 3 4 …

1 3 5 7 9 …

這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數(shù)學(xué)家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數(shù)的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當(dāng)它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經(jīng)理就無法讓他入住了。

但如果這個旅館有無數(shù)個房間，也都住滿了，經(jīng)理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換到3號房間，……如此繼續(xù)下去，就把1號房間騰出來了。

4、傳遞性：設(shè) n1，n2，n3 都是自然數(shù)，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

5、三岐性：對于任意兩個自然數(shù)n1，n2，有且只有下列三種關(guān)系之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。

6、最小數(shù)原理：自然數(shù)集合的任一非空子集中必有最小的數(shù)。具備性質(zhì)3、4的數(shù)集稱為線性序集。容易看出，有理數(shù)集、實數(shù)集都是線性序集。

但是這兩個數(shù)集都不具備性質(zhì)5，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然數(shù)）的數(shù)組成的集合是有理數(shù)集的非空子集，這個集合就沒有最小數(shù)；開區(qū)間（0，1）是實數(shù)集合的非空子集，它也沒有最小數(shù)。

具備性質(zhì)5的集合稱為良序集，自然數(shù)集合就是一種良序集。容易看出，加入0之后的自然數(shù)集仍然具備上述性質(zhì)3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。

擴展資料：

1、自然數(shù)列在“數(shù)列”，有著最廣泛的運用，因為所有的數(shù)列中，各項的序號都組成自然數(shù)列。

任何數(shù)列的通項公式都可以看作：數(shù)列各項的數(shù)與它的序號之間固定的數(shù)量關(guān)系。

2、求n條射線可以組成多少個角時，應(yīng)用了自然數(shù)列的前n項和公式

第1條射線和其它射線組成（n-1）個角，第2條射線跟余下的其它射線組成（n-2）個角，依此類推得到式子

1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2

3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應(yīng)用了自然數(shù)列的前n項和公式

第1個點和其它點組成（n-1）條線段，第2個點跟余下的其它點組成（n-2）條線段，依此類推同樣可以得到式子

1+2+3+4+……+n-1=n（n-1）/2