數(shù)字空間概念？

數(shù)學(xué)中的空間，spaces in mathematics

物理空間概念的延伸和抽象。如歐幾里得空間、雙曲空間、黎曼空間、各種函數(shù)空間和拓?fù)淇臻g等等。它們反映了人們對(duì)空間結(jié)構(gòu)各種屬性認(rèn)識(shí)的發(fā)展。

最早的數(shù)學(xué)空間概念是歐幾里得空間。它來(lái)源于對(duì)空間的直觀，反映了空間的平直性、均勻性、各向同性、包容性、位置關(guān)系（距離）、三維性，乃至無(wú)窮延伸性、無(wú)限可分性、連續(xù)性等方面的初步認(rèn)識(shí)。但在很長(zhǎng)時(shí)期里，人們對(duì)空間的理解只局限于歐幾里得幾何學(xué)的范圍，認(rèn)為它與時(shí)間無(wú)關(guān)。19世紀(jì)20年代，非歐幾何的出現(xiàn)突破了歐幾里得空間是唯一數(shù)學(xué)空間的傳統(tǒng)觀念。非歐幾里得幾何的空間概念具有更高的抽象性，它與歐幾里得空間統(tǒng)一成常曲率空間，而常曲率空間又是黎曼空間的特殊形式。19世紀(jì)中葉，G.F.B.黎曼還引進(jìn)流形概念。這些概念不僅對(duì)物理空間的認(rèn)識(shí)起了很大作用，而且也大大豐富了數(shù)學(xué)中的空間概念。

19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們給出了維數(shù)的拓?fù)涠x，并對(duì)函數(shù)空間的度量性質(zhì)進(jìn)行深入研究，從而產(chǎn)生了一系列重要的數(shù)學(xué)空間概念，特別是一般的拓?fù)淇臻g概念。20世紀(jì)30年代后，數(shù)學(xué)中的各種空間在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上得到統(tǒng)一處理，人們對(duì)各種數(shù)學(xué)空間獲得較完善的認(rèn)識(shí)，并隨著對(duì)物理空間認(rèn)識(shí)的深入以及數(shù)學(xué)研究的發(fā)展，從代數(shù)、幾何、拓?fù)浞矫嫱茝V各種數(shù)學(xué)上的空間觀念。在代數(shù)方面對(duì)空間概念的推廣主要來(lái)源于解析幾何的產(chǎn)生和發(fā)展。幾何對(duì)象（點(diǎn)、線等）與數(shù)組結(jié)成對(duì)應(yīng)關(guān)系，使人們可以對(duì)空間進(jìn)行精確的定量描述。這樣便容易把坐標(biāo)三數(shù)組推廣到坐標(biāo) n數(shù)組（向量），其所對(duì)應(yīng)的空間即為 n維線性空間或向量空間。這種空間從維數(shù)上對(duì)歐幾里得空間做了推廣，但抽去了歐幾里得空間中的距離概念。實(shí)數(shù)域上的線性空間通?？梢酝茝V到一般域上，特別是有限域上的線性空間成了只有有限多個(gè)點(diǎn)的空間，其空間的連續(xù)性也被舍棄了。從代數(shù)和幾何方面，可以把空間推廣成仿射空間和射影空間。射影空間可通過(guò)幾何方法或坐標(biāo)方法把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)線包括在內(nèi)。另外，也可以通過(guò)數(shù)組、相空間、狀態(tài)空間等等使各種空間成為物理學(xué)乃至其他科學(xué)處理運(yùn)動(dòng)的直觀模型。

空間的更抽象形式是拓?fù)淇臻g。由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)反映點(diǎn)與點(diǎn)之間的親疏遠(yuǎn)近關(guān)系，因而在拓?fù)淇臻g中歐幾里得空間的距離和向量空間的向量長(zhǎng)度這些概念都被舍棄了。

人們對(duì)各種數(shù)學(xué)空間的研究，反映了人們從局部、粗淺的直觀到更深刻地認(rèn)識(shí)空間的各種屬性的過(guò)程。例如，拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，使人們對(duì)空間的維數(shù)、連續(xù)性、開閉性、空間的有邊和無(wú)邊以及空間的定向都有了更深入、更本質(zhì)的理解。流形的研究對(duì)于空間的有限與無(wú)限、局部與整體的認(rèn)識(shí)也產(chǎn)生了飛躍。流形概念是空間概念的重要發(fā)展。它從局部上看是歐幾里得空間，但從整體上看可以有各種形式。它可開可閉，可有邊可無(wú)邊。這種深刻的認(rèn)識(shí)對(duì)于物理空間的研究有著推動(dòng)作用。例如，閔可夫斯基空間是狹義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型，黎曼空間則成為廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)模型（見相對(duì)論）。