樹狀圖怎么表示？

樹狀圖 dendrogram 亦稱樹枝狀圖。樹形圖是數據樹的圖形表示形式，以父子層次結構來組織對象。是枚舉法的一種表達方式。 為了用圖表示親緣關系，把分類單位擺在圖上樹枝頂部，根據分枝可以表示其相互關系，具有二次元和三次元。在數量分類學上用于表型分類的樹狀圖，稱為表型樹狀圖（phenogram），摻入系統的推論的稱為系統樹狀圖（cladogram）以資區別。表型樹狀圖是根據群析描繪的，系統樹狀圖是根據一種模擬的假定的性狀進化方向即用電子計算機描繪的。 樹狀圖也是初中學生學習概率問題所需要畫的一種圖形。 如何畫樹狀圖 最小樹形圖，就是給有向帶權圖中指定一個特殊的點v，求一棵有向生成樹T，使得該有向樹的根為v，并且T中所有邊的總權值最小。最小樹形圖的第一個算法是1965年朱永津和劉振宏提出的復雜度為O(VE)的算法。 判斷是否存在樹形圖的方法很簡單，只需要以v為根作一次圖的遍歷就可以了，所以下面的算法中不再考慮樹形圖不存在的情況。 在所有操作開始之前，我們需要把圖中所有的自環全都清除。很明顯，自環是不可能在任何一個樹形圖上的。只有進行了這步操作，總算法復雜度才真正能保證是O(VE)。 首先為除根之外的每個點選定一條入邊，這條入邊一定要是所有入邊中最小的。現在所有的最小入邊都選擇出來了，如果這個入邊集不存在有向環的話，我們可以 證明這個集合就是該圖的最小樹形圖。這個證明并不是很難。如果存在有向環的話，我們就要將這個有向環所稱一個人工頂點，同時改變圖中邊的權。假設某點u在 該環上，并設這個環中指向u的邊權是in[u]，那么對于每條從u出發的邊(u, i, w)，在新圖中連接(new, i, w)的邊，其中new為新加的人工頂點; 對于每條進入u的邊(i, u, w)，在新圖中建立邊(i, new, w-in[u])的邊。為什么入邊的權要減去in[u]，這個后面會解釋，在這里先給出算法的步驟。然后可以證明，新圖中最小樹形圖的權加上舊圖中被收縮 的那個環的權和，就是原圖中最小樹形圖的權。 上面結論也不做證明了。現在依據上面的結論，說明一下為什么出邊的權不變，入邊的權要減去in [u]。對于新圖中的最小樹形圖T，設指向人工節點的邊為e。將人工節點展開以后，e指向了一個環。假設原先e是指向u的，這個時候我們將環上指向u的邊 in[u]刪除，這樣就得到了原圖中的一個樹形圖。我們會發現，如果新圖中e的權w'(e)是原圖中e的權w(e)減去in[u]權的話，那么在我們刪除 掉in[u]，并且將e恢復為原圖狀態的時候，這個樹形圖的權仍然是新圖樹形圖的權加環的權，而這個權值正是最小樹形圖的權值。所以在展開節點之后，我們 得到的仍然是最小樹形圖。逐步展開所有的人工節點，就會得到初始圖的最小樹形圖了。 如果實現得很聰明的話，可以達到找最小入邊O(E)，找環 O(V)，收縮O(E)，其中在找環O(V)這里需要一點技巧。這樣每次收縮的復雜度是O(E)，然后最多會收縮幾次呢？由于我們一開始已經拿掉了所有的 自環，我門可以知道每個環至少包含2個點，收縮成1個點之后，總點數減少了至少1。當整個圖收縮到只有1個點的時候，最小樹形圖就不不用求了。所以我們最 多只會進行V-1次的收縮，所以總得復雜度自然是O(VE)了。由此可見，如果一開始不除去自環的話，理論復雜度會和自環的數目有關。