為什么會(huì)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系？

函數(shù)問(wèn)題一直是學(xué)生害怕，發(fā)愁的問(wèn)題。看見(jiàn)函數(shù)題，同學(xué)們就會(huì)出現(xiàn)兩股戰(zhàn)戰(zhàn)，幾欲先走的局面。函數(shù)真的很難嗎？

人們?cè)谡J(rèn)識(shí)一件事物時(shí)，總遵循著由淺入深、由表及里、螺旋式上升的認(rèn)知過(guò)程。尤其對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解與認(rèn)知也在發(fā)展，所以數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)不可能一步就位，需要一個(gè)螺旋上升的曲折過(guò)程。函數(shù)里面的變量，為什么會(huì)形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，在函數(shù)認(rèn)知發(fā)展歷程經(jīng)歷300多年發(fā)展完善。

一、函數(shù)的變量形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系是函數(shù)發(fā)展中的需要

函數(shù)要描述一個(gè)什么內(nèi)容？概括性地講，函數(shù)要描述兩個(gè)變量之間的相互依賴(lài)、轉(zhuǎn)化的關(guān)系，這就是函數(shù)的本質(zhì)。它是從常量數(shù)學(xué)邁進(jìn)變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志。

16世紀(jì)以前，數(shù)學(xué)研究的多為靜止不動(dòng)的常量，稱(chēng)為常量數(shù)學(xué)或者初等數(shù)學(xué)。16世紀(jì)，變量和函數(shù)概念產(chǎn)生標(biāo)志著數(shù)學(xué)從常量時(shí)代進(jìn)入到變量時(shí)代。

函數(shù)概念在其產(chǎn)生后的200多年間經(jīng)歷了五次大的演變，這里面既有質(zhì)的改變，也有形式內(nèi)容上的完善，其中前幾次演變與微積分學(xué)有密切關(guān)系。

隨后微積分的發(fā)展促使函數(shù)概念用解析表達(dá)式（即聯(lián)系兩個(gè)變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)算式）表示，這是函數(shù)概念的第一次重大演變。1694年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰伯努利首先給出“解析式說(shuō)函數(shù)概念”。約翰伯努利的學(xué)生、數(shù)學(xué)王子、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1748年在其著作《無(wú)窮小分析論》中對(duì)伯努利的定義作部分修正：一個(gè)變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。同時(shí)，歐拉發(fā)明利用英語(yǔ)單詞“function＂的首個(gè)字母f當(dāng)作函數(shù)符號(hào)f(x）。

函數(shù)的解析式說(shuō)定義在18世紀(jì)大部分時(shí)間占有統(tǒng)治地位，它的優(yōu)點(diǎn)是“解析式”是具體可以看到的東西，對(duì)幫助初學(xué)者理解函數(shù)概念是十分有益的。

1859年，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》一書(shū)時(shí)，首次將英文的“function”譯為“函數(shù)”。他認(rèn)為，“凡式中含天，為天之函數(shù)。”（式子中有x，這個(gè)式子就是x的函數(shù)）。在我看來(lái)，李善蘭先生不直接用“含數(shù)”來(lái)表達(dá)，而是用了“函”，更多的是想體現(xiàn)函數(shù)中包含的“聯(lián)系，關(guān)聯(lián)，隨之而變”的思想。

函數(shù)概念的第二次重大演變是用“運(yùn)動(dòng)與變化”的觀點(diǎn)給函數(shù)下定義。1８世紀(jì)中期，數(shù)學(xué)家們一直在爭(zhēng)論振動(dòng)弦問(wèn)題：“一根兩端固定的彈性弦被變形成某種初始形狀，然后被釋放出來(lái)振動(dòng)。問(wèn)題是描述確定某時(shí)刻弦形狀的函數(shù)。”這場(chǎng)辯論對(duì)函數(shù)概念的演變產(chǎn)生了重要的影響，出于刻畫(huà)弦形狀的函數(shù)的需要，數(shù)學(xué)家圍繞“如果兩個(gè)表達(dá)式在某個(gè)區(qū)間一致，那是否處處一致？”這一問(wèn)題展開(kāi)了爭(zhēng)論。

因此，數(shù)學(xué)家們開(kāi)始意識(shí)到用“解析式”定義函數(shù)已經(jīng)不夠完善了，于是1775年，歐拉在《微分基礎(chǔ)》中更新了函數(shù)定義：“如果某些量依賴(lài)于另一些量，當(dāng)后面這些量變化時(shí)，前面這些變量也隨之變化，則前面的量稱(chēng)為后面的量的函數(shù)。”函數(shù)的“變量依賴(lài)說(shuō)”定義由此誕。

所以《高等數(shù)學(xué)》(同濟(jì)版,第七版)第1頁(yè)第一段話第二句：所謂函數(shù)關(guān)系就是變量之間的依賴(lài)關(guān)系，目的是為了突出函數(shù)的靈魂（“變化”）。

德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年給出“變量對(duì)應(yīng)說(shuō)”定義：“如果對(duì)于給定區(qū)間上的每個(gè)x的值，y總有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，那么y就叫做x的函數(shù)”。他進(jìn)一步還指出，y依賴(lài)于x關(guān)系是否可用數(shù)學(xué)運(yùn)算式來(lái)表達(dá)，無(wú)關(guān)緊要。1851年德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼把函數(shù)定義中的“完全確定的值”改為“唯一的一個(gè)值”。這是函數(shù)概念的第三次重大演變。

新課改之前，我國(guó)初中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的定義，實(shí)際上是歐拉的“變量依賴(lài)說(shuō)”與黎曼的“變量對(duì)應(yīng)說(shuō)”的混合物。這種動(dòng)態(tài)的描述性定義方式體現(xiàn)了原始粗略但生動(dòng)直觀的一種動(dòng)態(tài)文化內(nèi)涵，其優(yōu)點(diǎn)是把“變量”與“對(duì)應(yīng)法則”巧妙地融合在一起這就是說(shuō)，它既突出了函數(shù)的靈魂（“變化”），又強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的本質(zhì)（“對(duì)應(yīng)關(guān)系”）。

函數(shù)的近代與傳統(tǒng)兩種定義方式?jīng)Q定的

目前我國(guó)高中數(shù)學(xué)教材中普遍使用它，表達(dá)為：設(shè) A、B為兩個(gè)非空集合，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合A中每一元素x，總有集合B中唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做一個(gè)映射。當(dāng) A、B為非空數(shù)集時(shí)，這樣的映射就稱(chēng)為函數(shù)。

利用集合之間的“對(duì)應(yīng)關(guān)系”給函數(shù)下定義，擺脫了“變量”對(duì)函數(shù)概念的約束，使得函數(shù)概念的適用范圍更為廣泛。因此，是函數(shù)概念的第四次重大演變。

1939年法國(guó)的布爾巴基學(xué)派對(duì)“關(guān)系”加以限制給出下述十分形式化、抽象化的函數(shù)定義：

設(shè)A與B是給定的數(shù)集， f是笛卡兒乘積集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一個(gè)子集（也稱(chēng)A與B的一個(gè)關(guān)系），如果對(duì)于任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等價(jià)于若（x,y), (x, z）∈f，則必有y＝ z），則稱(chēng) f是定義在A上、取值在B中的函數(shù)。

“集合關(guān)系說(shuō)”是用集合論的語(yǔ)言，即對(duì)笛卡兒乘積集加以適當(dāng)限制再對(duì)函數(shù)下定義，消除了“變量”“對(duì)應(yīng)”等含義模糊的用語(yǔ)，因而是完全數(shù)學(xué)化的定義。

這種完全形式化的定義還便于為計(jì)算機(jī)所接受由此可見(jiàn)，這種高度統(tǒng)一、形式化函數(shù)定義，函數(shù)概念的第五次重大演變。

傳統(tǒng)定義：在一個(gè)變化過(guò)程中，假設(shè)有兩個(gè)變量x，y，如果對(duì)于任意一個(gè)x都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)y是x的函數(shù)，x為自變量，y為因變量，x的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，相應(yīng)的y的取值范圍叫做函數(shù)的值域。

現(xiàn)代定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集，如果存在一個(gè)確定對(duì)應(yīng)法則f，能使得對(duì)于A中的任意一個(gè)x，在B中都有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)映射

f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，集合A為函數(shù)的定義域，集合B為函數(shù)的值域。

你可以把函數(shù)理解成很多東西：你可以把它看作是一種變化過(guò)程、看作兩個(gè)量之間存在的關(guān)系等等。

結(jié)束語(yǔ)

今天我們?cè)谝阎瘮?shù)概念的前提下，應(yīng)該能夠把他們還原到原始狀態(tài)。不僅局限于數(shù)、值、點(diǎn)、圖形這些抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的對(duì)應(yīng)，不僅狹窄的將運(yùn)算作為對(duì)應(yīng)法則。應(yīng)該有能力把一切相關(guān)聯(lián)事物作為象集、原象集，借助客觀實(shí)物去理解函數(shù)。比如每個(gè)人的qq號(hào)碼作為原象，持有賬戶(hù)的關(guān)系作為對(duì)應(yīng)法則，那么象集“人”就與原象集“qq”號(hào)碼建立起了函數(shù)關(guān)系。此類(lèi)關(guān)系在生活中不勝枚舉，希望大家展開(kāi)聯(lián)想，積極思考，這樣函數(shù)這一概念會(huì)在你的腦海里越發(fā)的深刻。

一個(gè)有趣的例子是這樣的，將十朵花分別插入十個(gè)水瓶中，對(duì)一個(gè)3歲大的小女孩提問(wèn)，花和瓶子哪個(gè)多？小女孩能回答出來(lái)一樣多；再將所有的花拿出來(lái)扎成一捆，問(wèn)同樣的問(wèn)題，小女孩就會(huì)說(shuō)瓶子多。小女孩是純真的她所說(shuō)的話正體現(xiàn)了人們對(duì)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)這一性質(zhì)的最初認(rèn)識(shí)。如果象在對(duì)應(yīng)法則下都有唯一的原象并且原象集中的元素一個(gè)不剩的都對(duì)著象集中的元素。不就是花與瓶的關(guān)系嗎？我們對(duì)無(wú)窮多數(shù)集比較的問(wèn)題不就解決了嗎？現(xiàn)在問(wèn)你被2整除的數(shù)與被3整除的數(shù)哪個(gè)更多你一定不會(huì)象小女孩那樣說(shuō)被3整除的數(shù)因?yàn)榇笏远啵麄兛梢越⒁灰粚?duì)應(yīng)關(guān)系，讓被2整除的數(shù)乘以2分之3就能與被3整除的數(shù)形成一一對(duì)應(yīng)。

函數(shù)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系能解決直觀引起的誤區(qū)，并且具有反對(duì)應(yīng)、可逆轉(zhuǎn)的功效。生活中人人都在用的身份證就是這個(gè)思想的產(chǎn)物。每個(gè)人都必須且只能有唯一一個(gè)身份證號(hào)，身份證號(hào)就和人建立起了一一對(duì)應(yīng)，只要出示身份證就能表明你的身份。

總之，函數(shù)所體現(xiàn)的，就是兩件看似不相關(guān)的事件背后的關(guān)系。為什么函數(shù)如此重要？其實(shí)仔細(xì)想想，世間萬(wàn)物不也如此嗎？我們周?chē)沫h(huán)境瞬息萬(wàn)變，時(shí)刻都與其他的人、事、物產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。原來(lái)，函數(shù)的本質(zhì)與我們的生活息息相關(guān)。學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，就是為了我們更好的解釋、分析甚至一定程度地預(yù)測(cè)世界。

參考文獻(xiàn)：

唐遠(yuǎn)猷，函數(shù)、映射到底是什么？