2說明什么？

（1）A^2=A,即是A^2-A=0, 即A(A-E)=0, 所以R(A)+(A-E)小于或等于n,又因為A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A-E)＝n.

（2）由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，類似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解.

（3）A的特征值只能是1或0. 證明如下：設λ是A的任意一特征值，α是其應對的特征向量，則有

Aα=λα, 于是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0, 因為α不是零向量，于是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=0

（4）矩陣A一定可以對角化. 因為A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一個非零列都是λ＝0的特征向量，同理A 的每一個非零列都是λ＝1的特征向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩陣A有n個線性無關的特征向量，所以A可以對角化.

擴展資料：

矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見于統計分析等應用數學學科中。在物理學中，矩陣于電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；計算機科學中，三維動畫制作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。

對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算算法。關于矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：計算的特征多項式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組：的一個基礎解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實數）。．

[注]：若是的屬于的特征向量，則也是對應于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定．反之，不同特征值對應的特征向量不會相等，亦即一個特征向量只能屬于一個特征值.

特征值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特征值或本征值。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬于（對應于）特征值m的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量