計算機函數和數學函數有哪些區別和關系？

計算機函數和數學函數都是函數。如果抽象地來說函數的意思就是一個輸入產生一個輸出，那么這個輸出就是輸入的函數。輸入和輸出之間的這種關系叫做函數映射。

上圖：函數的基本定義示意

不管是計算機函數，還是數學函數，它們都符合函數的這個抽象定義。

函數的要素

輸入

輸出

單向有序對應（輸入對應到輸出）

上圖：這是函數，因為不同的輸入值有唯一的輸出值。

上圖：這不是函數，因為相同的輸入值對應了不同的輸出值。

換一種你可能覺得匪夷所思的方式來描述函數，可以這么來講：

函數實際上是一個兩兩有序配對的集合，一個X值僅對應一個Y值，但一個Y值不一定對應一個X值。這個X與Y值的配對的集合G就是函數的圖，如果用坐標系表示就是我們經常看到的那種函數曲線圖。

上圖：一個典型的函數曲線圖。

從形式上講，函數圖和函數是相同的東西，但函數圖隱藏了函數作為某種過程的內涵。因此，在通常的用法中，函數和函數圖是區分開來講的。

y=f(x)這種表示法就代表了x通過一個函數的過程f，映射（或者輸出）y的全部含義。

此外，函數也稱為映射，雖然“映射”和“函數”之間還是有一些差別。

函數的基本定義是數學的函數和計算機函數通用的，否則就不叫函數。下面我們分開看下數學函數和計算機函數的異同。

數學的函數

函數最早就是在數學領域定義的，因此數學的函數的定義基本上與上面講的函數的基本定義類似，但是數學的函數限定函數的輸入和輸出對象必須是數，而不是其它什么貓貓狗狗。

你不能說我有一個函數：f(x)，然后當x=貓，算出來f(x)=狗。

這樣的函數在數學上不成立的，其根本原因在于數學的運算只能適用于數，這里的x代表的是一個數，只能從數的集合當中選取。

如果我們把上面的例子再復雜一下，例如：

函數f(x)=2x+1；但你要讓我算當x=貓時的函數值，那我最多可以代數推理到這一步：

f(x)=2貓+1，但是2x貓是什么含義，2貓能跟+1運算嗎？顯然不行，這哪里哪呀？完全是牛頭不對馬嘴。

所以，數學的函數，限定了函數的取值范圍是“數”！

這和計算機的函數就有了差別。

計算機的函數

計算機也是建立在數學的原理之上，從計算機的本質上講，計算機就可以被視為一種函數——一種物理實現的函數，它有輸入，有輸出。至少從物理原理上講，它是以電脈沖信號作為輸入，并輸出電脈沖信號。而且計算機確保了函數的一個最基本特征，即有序對應（或者說映射），相同的輸入對應相同的輸出，絕對不能出現相同的輸入居然產生不同的輸出的情況。所以，計算機本身就具備了函數的某些特質。

上圖：計算機的基本功能是不是跟我們前面對函數的基礎定義的圖示有些相似？

拋開計算機的物理硬件屬性（硬件部分）來說，單看計算機的邏輯屬性（即軟件部分），也就是基于計算機的運作方式而保證成立的那套運作機制，恰恰就是數學函數。計算機的軟件部分可以完全被視為純粹的函數，這一點問題都沒有，因為計算機的軟件體系完全符合函數的基本定義。

只不過，計算機軟件設計人員利用計算機高級編程語言的設計思路，將數學函數的原理和描述方式引入到了計算機的設計和計算機的編程開發當中。并且將復雜的概念建立在了數學函數的基礎上，實現了計算機最重要的操作和行為概念（我們用計算機可不是僅僅用來做算數）。這更強調了之前函數的通用定義當中關于函數是一個“過程”的內涵。

計算機的編程語言不是給計算機看的，而是給程序員看的，是方便程序員自己知道自己想讓計算機執行什么指令。雖然程序員輸入的是一些程序代碼，但實際上這些程序代碼最終會被編譯為數（包括指令和數據等等）。

上圖：程序的流程圖：大量函數相互連接就構成了復雜的邏輯操作體系。

但實際上計算機的操作和行為，最終落到計算機的硬件底層都是建立在數字信號的基礎上的，這種操作和行為實際上就是大量函數的宏觀集合——通過運算實現對現實世界的反映和反饋。

舉幾個典型的此類操作的例子，看看它們是如何由函數構成的：

計算機指令——實際上是一系列的編號以及相關的參數，每一條計算機指令都定義了輸入值x，計算含義f，指令執行后會產生對應的輸出值和相關操作（以數字信號的方式）。

對計算機內存的讀、寫——實際上是輸入一個地址值，輸出該地址固定長度的數據的值。

對特定設備的操作——實際上在一系列的內存地址寫入各種數值，然后以一個數值請求處理器控制特定的設備來讀取這些數據。

顯示屏顯示圖像——是以顯存內的大量數值作為輸入，以屏幕上的矩陣作為輸出（矩陣也是數的一種形式，至少矩陣可以等效于一個數的有序集合）。

上圖：內存的尋址就是一種典型的數值控制的操作，一串10的組合決定了應該從內存當中的哪一塊提取數據。所以像內存這個設備輸入數值，即可獲取另一串輸出的數值。內存也是一個函數。

上面是從計算機的底層機制來說的，也就是說計算機的底層完全是基于函數的，所謂的計算和操作一切都是函數。

上圖：高級語言（人可讀的指令）是如何變成CPU可讀的指令，一切都會落到01構成的數值上，作為CPU的輸入得到處理。這些數值不僅提供了x，也提供了f，應該說是高層的f，意思是處理數據的方法。高層的f會被變成底層的f，從而會被CPU執行（實際上CPU只知道少量的固定的底層的f）。

而對于計算機編程語言當中的函數來說，函數就具備了更高層次的含義。諸如一個C語言的函數，或者java語言的函數……

這些函數在另一個層面上體現了一些與數學上函數的不同。由于計算機高級語言品種非常多，我這里也就不過多展開，只說一點點抽象的共性：

在高級編程語言當中，函數和過程（routine）具有類似的含義或者本質，這是對函數"過程"含義的強化，也就是前面我們提到的那個f()的含義。

我們在類似C語言系的語言當中，函數、過程和方法等概念具有類似的含義。這些概念更突出函數的過程屬性。即在函數的運算之中，會執行一些操作，帶來一些后果，重點在于這些操作和操作的后果，而不在于函數的輸出值。但實質上，這些操作的后果也就是函數的輸出值。

通過函數集合的宏觀化，函數就變成了“宏”（macro）——一種具有動作屬性的整體概念，即操作。讀到這里，讀者應該可以聯想到為什么excel里面的VBA程序會被稱為“宏”。

實際上宏就是一種動作，或者操作的集合，其目的不是給出輸出的數值，而是給出一系列動作。但歸根就底，宏也是建立在堆疊的函數的基礎上的，是一個封裝的整體概念，它不過是強調了函數的過程屬性而已。

上圖：Excel中基于VBA的宏程序示例

小結一下：

計算機由于具備了強大的計算能力，于是可以高效地處理大量的函數，因此在此基礎上，人類使得計算機的軟件體系形成了“操作”的概念，因為我們不僅僅是想要計算機通過復雜的函數計算告訴我們一個最終值，而是需要計算機通過計算出來的大量的值去做一些事情。這是將計算力變成生產力的關鍵。但不管操作也好、宏也好、其微觀都是建立在單個簡單的函數的基礎上的，其原理也是建立在數學函數的概念之上的，輸入-過程-輸出的映射是計算機的基本原理。當硬件確保了這種基本原理的穩態運作，就成了計算機。即便用這樣的定義去衡量中國人發明的算盤也是一樣的道理。

總結

數學上函數的概念是計算機函數概念的微觀原理基礎。計算機發展到高級階段之后，計算機函數的含義更多地強調了函數的過程特性，從而形成了強大的操作能力，雖然這種操作能力最終是由硬件來實現的。但無論怎么發展，計算機函數的內涵都是符合數學函數的內涵的。